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Wolstenholme (numeri di)

Teoria dei numeri 

L’n-esimo numero di Wolstenholme di indice m Wm(n) è definito come il numeratore del numero armonico generalizzato Formula per la definizione dei numeri armonici generalizzati, dopo le possibili semplificazioni. Se m = 1, troviamo i numeratori dei numeri armonici.

 

Talvolta sono chiamati “numeri di Wolstenholme”, senza menzionare l’indice, i numeri corrispondenti a m = 2.

 

Le tabelle seguenti mostrano i numero di Wolstenholme Wm(n) per m fino a 10 e n fino a 10.

n

W1(n)

W2(n)

W3(n)

W4(n)

1

1

1

1

1

2

3

5

9

17

3

11

49

251

1393

4

25

205

2035

22369

5

137

5269

256103

14001361

6

49

5369

28567

14011361

7

363

266681

9822481

33654237761

8

761

1077749

78708473

538589354801

9

7129

9778141

19148110939

43631884298881

10

7381

1968329

19164113947

43635917056897

 

n

W5(n)

W6(n)

W7(n)

1

1

1

1

2

33

65

129

3

8051

47449

282251

4

257875

3037465

36130315

5

806108207

47463376609

2822716691183

6

268736069

47464376609

940908897061

7

4516906311683

5584183099672241

774879868932307123

8

144545256245731

357389058474664049

99184670126682733619

9

105375212839937899

260537105518334091721

650750755630450535274259

10

105376229094957931

52107472322919827957

650750820166709327386387

 

n

W8(n)

W9(n)

W10(n)

1

1

1

1

2

257

513

1025

3

1686433

10097891

60526249

4

431733409

5170139875

61978938025

5

168646292872321

10097934603139727

605263128567754849

6

168646392872321

373997614931101

605263138567754849

7

972213062238348973121

15092153145114981831307

170971856382109814342232401

8

248886558707571775009601

7727182467755471289426059

175075181098169912564190119249

9

1632944749460578249437992161

4106541588424891370931874221019

10338014371627802833957102351534201

10

1632944765723715465050248417

4106541592523201949266162797531

413520574906423083987893722912609

 

Tra questi si conoscono alcuni primi, riportati nella tabella seguente, dove l’asterisco indica i primi probabili (The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org e Mauro Fiorentini, 2013).

m

Valori di n tali che Wm(n) sia primo

Limite della ricerca

1

2 3 5 8 9 21 26 41 56 62 69 79 89 91 122 127 143 167 201 230 247 252 290 349 376 459 489 492 516 662 687 714 771 932 944 1061 1281 1352 1489 1730 1969 2012 2116 2457 2663 2955 3083 3130 3204 3359 3494 3572 3995 4155 4231 4250 4496 4616 5069 5988 6656 6883 8067 8156 8661 9097 9375 9977 10702 12315 12519 12728 13152 13571 14009 14247 14479 15299 17366 19645 21881 22307 25248 27754 32224 32725 34620 36282 39538 51708 60620 62849 63942 69294 69927 77449 78128

81780

2

2, 7, 13, 19, 121, 188, 252, 368, 605, 745, 1085, 1127, 1406, 1743*, 1774*, 2042*, 2087*, 2936*, 3196*, 3207*, 3457*, 4045*, 7584*, 10307*, 12603*, 12632*, 14438*, 14526*, 14641*, 15662*, 15950*, 16261*, 18084*, 18937*, 19676*, 40984*, 45531*, 46009*, 48292*, 48590*

50000

3

3, 15, 19, 26, 31, 129, 139, 211, 242, 246, 251, 474, 552, 558, 694, 801, 1001, 1123, 1313, 1687, 4168, 4484, 5611, 6869

6869

4

2, 4, 25, 235, 311, 733

1000

5

23, 25, 85, 147, 167, 252, 284, 335, 535

1000

6

73, 84, 301

1000

7

15, 71, 121, 197, 208, 303, 395

1000

8

2, 13, 387, 904

1000

9

3, 77, 230

1000

10

5, 49, 118, 197

1000

11

13, 45, 89

1000

12

57, 925

1000

13

3

1000

14

171, 213, 666

1000

15

5, 191

1000

16

2, 381

1000

17

21, 365

1000

18

7

1000

19

55

1000

20

-

1000

 

 

Prendono il nome da Joseph Wolstenholme (Eccles, UK, 30/9/1829 – 18/11/1891), che nel 1862 dimostrò che per ogni primo p > 3 il numeratore di Formula per la definizione del numero armonico H(p – 1) (ossia W1(p – 1)) è divisibile per p2.

 

Non è noto se valga l’inverso, cioè che questa sia una condizione sufficiente per stabilire che n è primo (v. primi di Wolstenholme); è però stato dimostrato che il numeratore non è divisibile per p se p è pari o una potenza di 3.

 

Una conseguenza di questo teorema è che Congruenza soddisfatta dal coefficiente binomiale C(2 * p – 1, p) e quindi Congruenza soddisfatta dal coefficiente binomiale centrale C(2 * p, p), se p è primo e maggiore di 3.

 

Nel 1819 Charles Babbage (26/12/1791 – Marylebone, UK, 18/10/1871) aveva dimostrato che Congruenza soddisfatta dal coefficiente binomiale C(2 * p – 1, p), se p è primo e maggiore di 2. Babbage suppose la congruenza valesse solo se p è primo, ma in seguito venne trovato il controesempio 16834 = 2 • 19 • 443, insieme con tutte le sue potenze.

 

Per quanto riguarda numeri di indice maggiore di 1 è stato dimostrato che:

  • W2(p – 1) è divisibile per p se e solo se p è primo (Wolstenholme, 1862);

  • W3(p – 1) è divisibile per p2 se e solo se p è primo e maggiore di 5;

  • W4(p – 1) è divisibile per p3 se e solo se p è primo e maggiore di 7.

 

In seguito furono dimostrate altre congruenze riguardanti somme di reciproci di interi:

  • Congruenza soddisfatta da una somma di reciproci di interi, se n non è multiplo di 2 o di 3, dove la somma va calcolata sui numeri primi rispetto a n (C. Leudesdorf, 1889);

  • per ogni primo dispari pSomma di reciproci di interi modulo p è congruente a Un mezzo, se 2n è un multiplo di p, a 0 altrimenti (Glaisher, 1900);

  • per ogni primo p maggiore di 3 Congruenza soddisfatta da una somma di reciproci di interi (L. Carlitz, 1954);

  • per ogni primo p maggiore di 3 il numeratore di Somma di reciproci di interi è multiplo di p (E. Alkan, 1994);

  • Congruenza soddisfatta da una somma di reciproci di interi, se s è pari e n non è divisibile per alcun primo p tale che p – 1 divida s, dove la somma va calcolata sui numeri primi rispetto a n (Sh. Slavutskii, 2002);

  • Congruenza soddisfatta da una somma di reciproci di interi, se s è dispari e vale una delle due condizioni: per ogni fattore primo p di n, s + 1 non è divisibile per p – 1, oppure per ogni fattore primo p di n, tale che p – 1 divida s + 1, s è divisibile per p, dove la somma va calcolata sui numeri primi rispetto a n (Sh. Slavutskii, 2002);

  • se n è il prodotto di primi distinti, tutti maggiori di 3, Congruenza soddisfatta da una somma di reciproci di interi (S. Hong, 2007);

  • per ogni primo p maggiore di 3 e tale che pr divida 2n + 1, Congruenza soddisfatta da una somma di reciproci di interi (Y. Su, J. Yang e S. Li, 2011).

  • per ogni intero n non multiplo di 2 o 3, Congruenza soddisfatta da una somma di reciproci di interi per s pari e Congruenza soddisfatta da una somma di reciproci di interi per s dispari, dove t = s(φ(n2) – 1), le somme vanno calcolate sui numeri primi rispetto a n e i prodotti sui divisori primi di n.

 

I.Sh. Slavutskii dimostrò nel 2002 che per ogni primo p maggiore di 2, Somma di reciproci di interi è congruente a:

  • Valore congruente alla somma modulo p3t – 1, se r è pari e p > r + 2;

  • Valore congruente alla somma modulo p3t, se r è dispari e p > r + 3;

  • –(2n + 1)p2t – 1 modulo p2t, se p = r + 2.

 

Bibliografia

  • Adler, Andrew;  Coury, John E.;  The Theory of Numbers: a Text and Source Book of Problems, Londra, Jones and Bartlett Publishers, 1995.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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