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Residui di potenze superiori alla seconda

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Residui cubici
  3. 3. Residui biquadratici

In modo analogo ai residui quadratici si definiscono i residui cubici, biquadratici etc.; sono chiamati “residui cubici modulo p” i numeri n per i quali esiste un intero x tale che x3n mod p, “residui biquadratici modulo p” i numeri n per i quali esiste un intero x tale che x4n mod p e così via.

Per analogia col simbolo di Jacobi, si può definire il simbolo residuo di potenza k–esima Simbolo residuo di potenza k–esima tra due interi m e n primi tra loro come 1, se m è residuo di una potenza k-esima modulo n, –1 altrimenti.

 

Si può dimostrare che per un primo p:

  • –1 è residuo di potenze con esponente 2n – 1 se e solo se p è della forma 2nk + 1; per esempio, per n = 5 abbiamo che –1 è residuo di sedicesime potenze modulo 97;

  • 1 / n degli interi da 1 a p – 1 sono residui di potenza n-esima dei primi della forma nk + 1; per esempio, per n = 5 abbiamo 6 è residui di quinte potenze modulo 31;

  • se p è dispari e m e n sono diversi da zero, almeno uno degli interi m, n, mn, mn2, mn3, …, mnk – 1 è residuo di una potenza k-esima modulo p (M. Dounton, 1965);

  • un intero n è residuo di potenza k rispetto a una potenza di un primo dispari pm se e solo se Condizione necessaria e sufficiente perché un intero n sia residuo di potenza k rispetto a p^m e in particolare un intero n è residuo di potenza k rispetto a un primo dispari p se e solo se Condizione necessaria e sufficiente perché un intero n sia residuo di potenza k rispetto a p (Eulero).

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