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Pomerance (congettura di) (I)

Congetture  Teoria dei numeri 

Carl Pomerance avanzò la congettura che per ogni n > 1, pn – 1 divide Prodotto di p(k) * (p(k) – 1), per k da 1 a n – 1.

Per esempio:

  • p2 – 1 = 3 – 1 = 2 divide 2 • 1 = 2;

  • p3 – 1 = 5 – 1 = 4 divide 3 • 2 • 2 • 1 = 12;

  • p4 – 1 = 7 – 1 = 6 divide 5 • 4 • 3 • 2 • 2 • 1 = 240;

  • p5 – 1 = 11 – 1 = 10 divide 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 2 • 1 = 10080;

  • p6 – 1 = 13 – 1 = 12 divide 11 • 10 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 2 • 1 = 1100880;

  • p7 – 1 = 17 – 1 = 16 divide 13 • 12 • 11 • 10 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 2 • 1 = 172972800;

  • p8 – 1 = 19 – 1 = 18 divide 17 • 16 • 13 • 12 • 11 • 10 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 2 • 1 = 47048601600.

 

La congettura è estremamente plausibile, perché tutti i fattori primi di pn – 1 sono contenuti nel prodotto, ma non è stato dimostrato che non esista un controesempio, cioè un primo p tale che p – 1 sia multiplo di una potenza così elevata di uno dei primi inferiori, da non essere contenuta nel prodotto.

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