Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Nel 1989 Shyam Sunder Gupta battezzò “rari” i numeri con la seguente insolita proprietà: se a essi si somma e sottrae il numero ottenuto invertendo l’ordine delle cifre, si ottengono due quadrati.

Per esempio, 65 è raro perché 65 + 56 = 121 = 112 e 65 – 56 = 9 = 32.

Normalmente si escludono i numeri palindromi, con questa proprietà, ossia i palindromi uguali alla metà di un quadrato, perché banali: uno dei quadrati in questione è zero e l’altro è il doppio del numero. Per esempio, nel caso di 242 abbiamo 242 – 242 = 0 e 242 + 242 = 484 = 222; questi numeri sono infiniti, perché comprendono almeno due sequenze infinite:

  • 242, 20402, 2004002, …, ossia i numeri della forma Forma di una sequenza infinita di numeri rari palindromi;

  • 24642, 204060402, 2004006004002, …, ossia i numeri della forma Forma di una sequenza infinita di numeri rari palindromi.

 

Non si sa se i numeri rari siano in numero finito o no, ma di certo sono, come dice il nome, piuttosto rari: in base 10 ve ne sono solo 84 minori di 1020, dei quali solo 15 dispari.

I numeri rari noti sono: 65, 621770, 281089082, 2022652202, 2042832002, 868591084757, 872546974178, 872568754178, 6979302951885, 20313693904202, 20313839704202, 20331657922202, 20331875722202, 20333875702202, 40313893704200, 40351893720200, 200142385731002, 204238494066002, 221462345754122, 244062891224042, 245518996076442, 248359494187442, 403058392434500, 441054594034340, 816984566129618, 2078311262161202, 2133786945766212, 2135568943984212, 2135764587964212, 2135786765764212, 4135786945764210, 6157577986646405, 6889765708183410, 8052956026592517, 8052956206592517, 8191154686620818, 8191156864620818, 8191376864400818, 8650327689541457, 8650349867341457, 22542040692914522, 67725910561765640, 86965750494756968, 225342456863243522, 225342458663243522, 225342478643243522, 284684666566486482, 284684868364486482, 297128548234950692, 297128722852950692, 297148324656930692, 297148546434930692, 497168548234910690, 619431353040136925, 619631153042134925, 631688638047992345, 633288858025996145, 633488632647994145, 653488856225994125, 811865096390477018, 865721270017296468, 871975098681469178, 898907259301737498, 2042401829204402402, 2060303819041450202, 2420424089100600242, 2551755006254571552, 2702373360882732072, 2825378427312735282, 6531727101458000045, 6988066446726832640, 8066308349502036608, 8197906905009010818, 8200756128308135597, 8320411466598809138, 22134434735752443122, 22134434753752443122, 22134436953532443122, 22136414517954423122, 22136414971554423122, 22136456771730423122, 61952807156239928885, 61999171315484316965, 65459144877856561700 (Shyam Sunder Gupta).

 

Shyam Sunder Gupta dimostrò che un numero raro ha le seguenti proprietà:

  • la prima cifra dev’essere pari;

  • se la prima cifra è 2, l’ultima è 2 e seconda e penultima sono uguali;

  • se la prima cifra è 4, l’ultima è 0 e la differenza tra seconda e penultima è pari;

  • se la prima cifra è 6, l’ultima è 0 o 5 e la differenza tra seconda e penultima è dispari;

  • se la prima cifra è 8, l’ultima è 2, 3, 7 o 8;

  • se la prima cifra è 8 e l’ultima è 2, la somma tra seconda e penultima è 9;

  • se la prima cifra è 8 e l’ultima è 3, la differenza tra seconda e penultima modulo 10 è 7;

  • se la prima cifra è 8 e l’ultima è 7, la somma tra seconda e penultima modulo 10 è 1;

  • se la prima cifra è 8 e l’ultima è 8, la seconda e la penultima sono uguali;

  • l’ultima cifra non può essere 1, 4, 6 o 9; non se ne conosce alcuno che termini in 3, ma non è stato dimostrato che non ne esistano;

  • il resto della divisione del numero per 9 è 0, 2, 5 o 8;

  • se le cifre sono in numero pari, il quadrato costituito dalla somma è multiplo di 112 = 121;

  • se le cifre sono in numero dispari, il quadrato costituito dalla differenza è multiplo di 332 = 1089.

 

Non si conoscono numeri rari primi e Gupta suppone non esistano.

Non si conoscono neppure numeri rari che terminino con 3, ma è possibile che esistano.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.

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