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Zhi-Wei Sun (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Congetture sui coefficienti binomiali
  3. 3. Congetture sui fattori primi primitivi
  4. 4. Congetture sui numeri di Apéry
  5. 5. Congetture sui numeri di Delannoy centrali
  6. 6. Congetture sui numeri primi
  7. 7. Congetture sui residui cubici
  8. 8. Congetture sui residui quadratici
  9. 9. Congetture sulle frazioni egizie
  10. 10. Congetture su serie convergenti

Data una sequenza di interi, si chiama “fattore primo primitivo” di un elemento un primo che non divide nessuno dei precedenti.

Sun avanzò alcune congetture sull’esistenza di un fattore primo primitivo per ogni elemento di alcune sequenze.

 

Una congettura di Sun afferma che ogni elemento della sequenza dei numeri di Bell bn maggiore di 1 ha un fattore primo primitivo.

La tabella seguente riporta i minimi fattori primi primitivi per n fino a 20.

n

Fattore primo primitivo

1

-

2

2

3

5

4

3

5

13

6

7

7

877

8

23

9

19

10

4639

11

22619

12

37

13

27644437

14

1800937

15

251

16

241

17

255755771

18

19463

19

271

20

61

 

Nel 1892 Zsigmondy dimostrò che per ogni valore di a > 1 e b > 0 primi tra loro e ogni n, an + bn ha almeno un fattore primo primitivo, tranne 23 + 1 = 9, divisibile per 3 che divide anche 21 + 1 = 3, e che lo stesso vale per anbn, tranne in due casi banali: ab = 1 e a2b2, se a e b sono dispari e a + b è una potenza di 2, con l’unica eccezione 26 – 1 = 63, divisibile per 7 e 3, che dividono anche 23 – 1 = 7 e 22 – 1 = 3 (v. potenze)

Sun avanzò la congettura che ogni numero della forma 2nn abbia almeno un fattore primo primitivo, tranne per n = 1, n = 5 e n = 16.

La tabella seguente riporta i minimi fattori primi primitivi per n fino a 20.

n

Fattore primo primitivo

1

-

2

2

3

5

4

3

5

-

6

29

7

11

8

31

9

503

10

13

11

7

12

1021

13

8179

14

1637

15

4679

16

-

17

8737

18

131063

19

524269

20

262139

 

Una congettura analoga di Sun afferma che ogni elemento della sequenza dei coefficienti trinomiali centrali Coefficiente trinomiale centrale T(2n, n) maggiore di 1 ha un fattore primo primitivo.

La tabella seguente riposta i minimi fattori primi primitivi per n sino a 20.

n

Fattore primo primitivo

1

-

2

3

3

7

4

19

5

17

6

47

7

131

8

41

9

43

10

1279

11

503

12

113

13

2917

14

569

15

198623

16

14083

17

26693

18

201611

19

42998951

20

41931041

 

Una congettura riguarda le somme di potenze di coefficienti binomiali Somma di potenze di coefficienti binomiali (per r = 3 abbiamo i numeri di Franel) e afferma che per r > 2 e n abbastanza grande, ogni elemento della sequenza abbia un fattore primo primitivo. Per r = 3 o 4 Sun ipotizzò che la proprietà valga per tutti i valori di n.

Le tabelle seguenti riportano i minimi fattori primi primitivi per r fino a 10 e n sino a 20 (M. Fiorentini, 2015).

n \ r

3

4

1

2

2

2

5

3

3

7

41

4

173

5

5

563

7

6

13

349

7

41

61

8

369581

75617

9

937

31

10

61

13

11

23

499

12

29

643897693

13

2141

17

14

12148537

19

15

31

1729774061

16

157

101

17

59

2859112064587

18

37

138407

19

506251

83

20

151

167

n \ r

5

6

1

2

2

2

17

3

3

3

5

4

-

1097

5

51563

19

6

197

7

7

71

13

8

1408324913

2003280709

9

13

19477

10

10723

10211

11

1087

17

12

26801

41

13

569057

431

14

593

53897

15

31

661

16

23

211

17

2957

127

18

165584477862252314966461

2861

19

12492180461

1019

20

443

139

n \ r

7

8

1

2

2

2

5

3

3

547

17

4

156353

5

5

197

796751

6

113

4049

7

59

190808667899

8

41

42815020038841

9

41023

11

10

827

1499521

11

353

13

12

1225746956511721529

103

13

239

499

14

251

91647622945635736931968613

15

17

47

16

21421886977

19

17

23

199,

18

331066859081875536388622739660469

23

19

1871

73

20

269

4909

n \ r

9

10

1

2

2

2

257

3

3

7

5

4

5300993

6256333

5

500976563

7

6

17

863

7

71

13

8

47699

29

9

373

4231

10

203471133770127633313

11

11

67

17

12

13445737

759631

13

349

7841

14

857

2663

15

29

78059

16

23

191

17

89

409

18

2422833306784882561

887

19

449

2029

20

119942033359110716331866992495382414491779951559

23

 

Una congettura di Sun afferma che ogni elemento della sequenza dei numeri di Delannoy centrali D(n) ha un fattore primo primitivo.

La tabella seguente riporta i minimi fattori primi primitivi per n sino a 20.

n

Fattore primo primitivo

1

3

2

13

3

7

4

107

5

11

6

89

7

31

8

265729

9

19

10

9887

11

23

12

113

13

79

14

373

15

53

16

3089

17

151

18

127

19

719

20

193

 

Una congettura di Sun afferma che ogni elemento della sequenza dei numeri di Domb Dn con n > 3 ha un fattore primo primitivo.

La tabella seguente riporta i minimi fattori primi primitivi per n sino a 20.

n

Fattore primo primitivo

1

2

2

7

3

-

4

97

5

11

6

23

7

19

8

643

9

659

10

1753

11

4922329

12

613

13

341447

14

1193

15

2213

16

2040452101603

17

491

18

82461839

19

733

20

113

 

Una congettura di Sun afferma che ogni elemento della sequenza dei numeri di Eulero a zig zag di indice dispari E*2n – 1 per n > 3 ha un fattore primo primitivo.

La tabella seguente riporta i minimi fattori primi primitivi per n sino a 20.

n

Fattore primo primitivo

1

-

2

2

3

-

4

17

5

31

6

691

7

43

8

257

9

73

10

41

11

89

12

103

13

2731

14

113

15

151

16

37

17

43691

18

109

19

174763

20

61681

 

Altre congetture riguardano primi che sono fattori primi primitivi in senso più generale: se un primo p divide un intero n, allora n ≡ 0 mod p e utilizzando questa definizione si può generalizzare il concetto di divisore primo primitivo ai numeri razionali.

Quest congetture riguardano quindi l’esistenza, per ogni elemento di una sequenza di numeri razionali an, di almeno un primo p tale che an ≡ 0 mod p e che la stessa proprietà non valga per interi inferiori a n.

 

Una congettura riguarda i numeri armonici (I) Hn: per n > 1 e diverso da 7 esiste un primo p tale che Hn ≡ 0 mod p e che la stessa congruenza non valga per alcun k < n.

La tabella seguente riporta i minimi primi del genere per n sino a 20.

n

Primo

1

-

2

3

3

11

4

5

5

137

6

7

7

-

8

761

9

7129

10

61

11

97

12

13

13

29

14

1049

15

41233

16

17

17

37

18

19

19

7440427

20

11167027

 

Una congettura riguarda i numeri armonici generalizzati Hn, 2: per n > 1 esiste un primo p tale che Hn, 2 ≡ 0 mod p e che la stessa congruenza non valga per alcun k < n.

La tabella seguente riporta i minimi primi del genere per n sino a 20.

n

Primo

1

-

2

5

3

7

4

41

5

11

6

13

7

266681

8

17

9

19

10

178939

11

23

12

18500393

13

40799043101

14

29

15

31

16

619

17

601

18

8821

19

86364397717734821

20

421950627598601

 

Una congettura riguarda i numeri di Bernoulli: per n > 4 esiste un primo p tale che B2n ≡ 0 mod p e che la stessa congruenza non valga per alcun k < n.

La tabella seguente riporta i minimi primi del genere per n sino a 20.

n

Primo

1

-

2

-

3

-

4

-

5

5

6

691

7

7

8

3617

9

43867

10

283

11

11

12

103

13

13

14

9349

15

1721

16

37

17

17

18

26315271553053477373

19

19

20

137616929

 

Una congettura riguarda i numeri di Eulero En: per n > 4 esiste un primo p tale che E2n ≡ 0 mod p e che la stessa congruenza non valga per alcun k < n.

La tabella seguente riporta i minimi primi del genere noti (Zhi-Wei Sun, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Primo

1

-

2

5

3

61

4

277

5

19

6

13

7

47

8

17

9

79

10

41737

11

31

12

2137

13

67

14

29

15

15669721

16

930157

17

4153

18

37

19

23489580527043108252017828576198947741

20

41

21

137

22

587

23

285528427091

24

5516994249383296071214195242422482492286460673697

25

5639

26

53

27

2749

28

5303

29

1459879476771247347961031445001033

30

6821509

31

101

32

25349

33

105075119

34

2039

 

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