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Zhi-Wei Sun (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Congetture sui coefficienti binomiali
  3. 3. Congetture sui fattori primi primitivi
  4. 4. Congetture sui numeri di Apéry
  5. 5. Congetture sui numeri di Delannoy centrali
  6. 6. Congetture sui numeri primi
  7. 7. Congetture sui residui cubici
  8. 8. Congetture sui residui quadratici
  9. 9. Congetture sulle frazioni egizie
  10. 10. Congetture su serie convergenti

Una congettura di Sun riguarda una serie convergente contenente coefficienti binomiali: Serie che coinvolge reciproci di coefficienti binomiali, dove Simbolo di Legendre (n | p) è il simbolo di Legendre.

 

Se tutti i fattori primi di k dividono m, allora per ogni intero positivo n, mn + 1 divide Coefficiente binomiale C(kn + mn, mn); questo fatto spinse Sun a supporre che se mn + 1 divide Coefficiente binomiale C(kn + mn, mn) per n abbastanza grande, allora tutti i fattori primi di k dividono m.

 

Varie altre congetture riguardano congruenze di somme di coefficienti binomiali per p primo (nelle formule Simbolo di Jacobi (n | p) è il simbolo di Jacobi):

  • se pa mod 5 ≡ 1 o pa mod 5 ≡ 2 oppure a > 1 e p non è della forma 5n + 3, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se pa mod 5 ≡ 1 o pa mod 5 ≡ 3 oppure a > 1 e p non è della forma 5n + 2, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p mod 10 ≡ 1 o p mod 10 ≡ 7 oppure a > 2, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p mod 10 ≡ 1 o p mod 10 ≡ 3 oppure a > 2, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p è maggiore di 7, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali, dove Hn, k è un numero armonico generalizzato (verificata per p < 1000, M. Fiorentini, 2015); nel 2011 Khodabakhsh Hessami Pilehrood e Tatiana Hessami Pilehrood dimostrarono che la congruenza vale modulo p;

  • se p è maggiore di 5, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali (verificata per p < 1000, M. Fiorentini, 2015);

  • se p è un residuo quadratico modulo 7 ed è della forma x2 + 7y2, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p non è un residuo quadratico modulo 7, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali; dimostrata da Zhi-Hong Sun;

  • se p è un residuo quadratico modulo 11 e 4p è della forma x2 + 11y2, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p non è un residuo quadratico modulo 11, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p è esprimibile come x2 + y2, con x dispari e multiplo di 3, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p è esprimibile come x2 + y2, con x dispari e non multiplo di 3 e y multiplo di 3, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p è dispari, esprimibile come x2 + y2, con x dispari e xy non multiplo di 3, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p è della forma 4k + 3, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p è esprimibile come x2 + 5y2 e p ha la forma 20k + 1 o 20k + 9, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se 2p è esprimibile come x2 + 5y2 e p ha la forma 20k + 3 o 20k + 7, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se –5 non è residuo quadratico modulo p, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p è esprimibile come x2 + 30y2 e 2, 3 e 5 sono residui quadratici modulo p, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p è esprimibile come 2x2 + 15y2, 2 è residuo quadratico modulo p e 3 e 5 non lo sono, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p è esprimibile come 3x2 + 10y2, 3 è residuo quadratico modulo p e 2 e 5 non lo sono, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p è esprimibile come 5x2 + 6y2, 5 è residuo quadratico modulo p e 2 e 3 non lo sono, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se Simbolo di Jacobi (–30 | p), Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p è esprimibile come x2 + 190y2 e 2, 3 e 19 sono residui quadratici modulo p, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p è esprimibile come 2x2 + 95y2, 2 è residuo quadratico modulo p e 5 e 19 non lo sono, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p è esprimibile come 10x2 + 19y2, 5 è residuo quadratico modulo p e 2 e 19 non lo sono, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p è esprimibile come 5x2 + 38y2, 19 è residuo quadratico modulo p e 2 e 5 non lo sono, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se Simbolo di Jacobi (–190 | p), Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p è della forma x2 + 105y2, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se 2p è della forma x2 + 105y2, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p è della forma 3x2 + 35y2, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se 2p è della forma 3x2 + 35y2, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p è della forma 5x2 + 21y2, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se 2p è della forma 5x2 + 21y2, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p è della forma 7x2 + 15y2, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se 2p è della forma 7x2 + 15y2, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se –105 non è residuo quadratico modulo p, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • se p è maggiore di 5, Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali.

Per quel poco che può valere, ho verificato tutte queste congetture, tranne le prime quattro, per tutti i primi fino a 1000.

 

Altre congetture simili riguardano congruenze di somme di coefficienti binomiali per m intero positivo:

  • Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali;

  • Congruenza che coinvolge coefficienti binomiali.

Per quel poco che può valere, ho verificato anche queste congetture per tutti gli interi fino a 1000.

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