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Sierpiński sulla funzione φ (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Wacław Franciszek Sierpiński (Varsavia, 14/3/1882 – Varsavia, 21/10/1969) avanzò la congettura che per ogni intero n maggiore di 1 esista almeno un insieme di esattamente n numeri naturali con lo stesso valore della funzione φ.

Erdös e Dudley dimostrarono nel 1983 che se φ(n) = k ha m soluzioni, esistono infiniti altri valori di k con lo stesso numero di soluzioni, quindi la congettura equivale all’affermazione che per ogni intero n, esistono infiniti insiemi di esattamente n numeri naturali con lo stesso valore della funzione φ.

 

Nel 1961 Schinzel dimostrò che la congettura è una conseguenza della sua ipotesi H.

 

La congettura fu dimostrata vera da K. Ford nel 1998. Dalla dimostrazione di Erdös e Dudley segue quindi che per ogni n > 1 vi sono infiniti insiemi di esattamente n interi che hanno lo stesso valore della funzione toziente.

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