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Carmichael sulla funzione φ (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Nel 1907 Robert Daniel Carmichael (Goodwater, USA, 1/3/1879 – 2/5/1967) credette d’aver dimostrato che non esiste valore che la funzione φ produca una sola volta. La dimostrazione si rivelò sbagliata e nel 1922 Carmichael, non riuscendo a correggerla, ripropose l’affermazione come congettura.

 

Un eventuale controesempio ossia un intero n tale che la funzione assume il valore φ(n) una sola volta, deve essere enorme (e molti ritengono che non possa esistere):

  • Carmichael stesso dimostrò deve essere maggiore di 1037;

  • Victor L. Klee, Jr. (San Francisco, 18/9/1925 – Lakewood, USA, 17/8/2007) dimostrò che sia n che φ(n) devono essere maggiori di 10400 e che φ(n) deve essere multiplo di 242 e 347;

  • nel 1982 P. Masai e A. Vallette dimostrarono che n deve essere maggiore di 1010000;

  • nel 1994 A. Schlafly e S. Wagon dimostrarono che deve essere maggiore di1010900000;

  • nel 1998 Kevin Ford portò il limite a 101010.

 

Un eventuale controesempio n deve inoltre essere multiplo di vari primi:

  • Klee dimostrò che n è un numero potente, ma non multiplo di 8, né di primi di Fermat, a parte 3; dato che φ(n) è pari per n > 2, n deve essere della forma 8k + 4;

  • Donnelly dimostrò nel 1973 che n deve essere multiplo di 223272432 = 3261636;

  • Florentin Smarandache dimostrò che n è multiplo dei quadrati dei primi dell’insieme M = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … }, dove la costruzione di M si ottiene iniziando con 2 e 3 e aggiungendo di volta in volta i primi esprimibili come 1 + 2a3bq, con 0 ≤ a ≤ 41, 0 ≤ b ≤ 46 e q prodotto di primi distinti già presenti nell’insieme. Tra i 168 primi minori di 1000 solo 101, 151, 197, 251, 401, 491, 503, 601, 607, 677, 701, 727, 751, 809, 883, 907 e 983 non appartengono all’insieme. Il teorema può permettere di innalzare il limite inferiore per il minimo valore di n e se si potesse dimostrare che l’insieme M è infinito (come tutti ritengono), si otterrebbe che n è multiplo di infiniti primi e quindi che non esiste. E’ facile dimostrare che i primi che non appartengono a M sono infiniti: tra questi, infatti, vi sono tutti i primi della forma km2 + 1, per m non multiplo di 2 o 3, e questi sono infiniti per ogni m fissato per il teorema di Dirichlet.

 

Carmichael dimostrò che un eventuale controesempio n si scompone come n = d1d2, con d1 e d2 primi tra loro e se la scomposizione in fattori primi di d2 è Scomposizione di d2 in fattori primi e p = 1+ d3φ(d1) è primo, con Scomposizione di d3 in fattori primi, e per tutti i vari pk vale 0 ≤ bk < ak, allora p2 divide n.

 

Carl Pomerance nel 1974 dimostrò che n è un controesempio, se per ogni primo p tale che p – 1 divide φ(n), p2 divide n.

Pomerance avanzò la congettura che per ogni n > 0 pn – 1 divide Prodotto che coinvolge i primi n – 1 numeri primi (v. congettura di Pomerance); se la congettura è vera, non esistono interi che soddisfino la condizione, ma questa è solo sufficiente e quindi non vieta l’esistenza di controesempi alla congettura di Carmichael di natura differente.

 

Erdös e Dudley dimostrarono nel 1983 che se φ(n) = k ha m soluzioni per un valore fissato di k, esistono infiniti altri valori di k con lo stesso numero di soluzioni, quindi se esiste un controesempio, ne esistono infiniti.

Ford dimostrò nel 1999 che se esistono controesempi, questi addirittura costituiscono una frazione non nulla degli interi.

Vedi anche

Funzione φ.

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