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P-interi

Teoria dei numeri 

Un sistema di residui ridotto modulo n è un insieme di φ(n) interi, primi rispetto a n e tali che diano resti diversi se divisi per n. Il modo più semplice per costruirne uno è prendere gli interi da 1 a n – 1 e rimuovere quelli che non sono primi rispetto a n.

La somma degli interi che costituiscono un sistema di residui ridotto modulo n è divisibile per n.

 

Si chiamano “P-interi” i numeri naturali n maggiori di 1 tali che i primi φ(n) numeri primi che non dividono n formano un sistema di residui ridotto modulo n; trattandosi di primi, il requisito sui divisori comuni è automaticamente soddisfatto. Per esempio, 30 è un P-intero perché φ(30) = 8 e i primi 8 primi che non dividono 30, ossia, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 e 31, danno resti diversi se divisi per 30.

 

Nel 1978 il matematico colombiano Bernardo Recamán Santos si chiese se fossero in numero finito e nel 1980 Carl Pomerance dimostrò che è così, avanzando anche la congettura che 2, 4, 6, 12, 18 e 30 siano gli unici. La congettura fu dimostrata nel 2014 da Shichun Yang e Alain Togbé.

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