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Espansione di Lüroth

Rappresentazione dei numeri 

Si chiamano rispettivamente “espansionedi Lüroth” e “espansionealternata di Lüroth” di un numero reale x maggiore di zero e non superiore a 1 le sequenze di interi an non minori di 2 e bn non minori di 1, tali che Formula per la definizione dell’espansione di Lüroth e Formula per la definizione dell’espansione alternata di Lüroth, introdotte dal matematico tedesco Jacob Lüroth (Mannheim, Germania, 18/2/1844 – Monaco, Germania, 14/9/1910).

 

Fissato il numero reale, le espansioni sono uniche; sono infinite per i numeri irrazionali, finite o infinite periodiche per i numeri razionali.

 

Anche per queste espansionivalgono teoremi analoghi a quelli di Khinchin e di Lévy (v. costante di Khinchin): per quasi tutti i reali (più precisamente, per tutti tranne un insieme di misura di Lebesgue nulla) la media geometrica degli interi an tende a un valore finito, uguale a Limite cui tende la media geometrica degli interi a(n), la media geometrica degli interi an + 1 tende a Limite cui tende la media geometrica degli interi a(n) + 1, mentre se p(n) / q(n) è la frazione che si ottiene sommando i primi n termini dello sviluppo, Limite cui tende la radice n-esima del valore assoluto tra il numero reale e l’approssimazione ottenuta dai primi n termini della sua espansione di Lüroth.

Qui trovate le prime 99 cifre decimali del primo limite (Jean-François Alcover, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 98 cifre decimali del secondo limite (Jean-François Alcover, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 97 cifre decimali del terzo limite (Jean-François Alcover, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

J. Galambos dimostrò nel 1976 che il logaritmo della media geometrica dei denominatori qn tende alla stessa costante, compresa tra 0 e 1, per quasi tutti i reali (più precisamente, per tutti tranne un insieme di misura di Lebesgue nulla). Sofia Kalpazidou dimostrò nel 1987 che tale limite è uguale a Limite cui tende il logaritmo della media geometrica dei denominatori.

Qui trovate le prime 99 cifre decimali del limite (Jean-François Alcover, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Vedi anche

Costante di Khinchin.

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