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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Somma a segni alternati

Si chiamano “numeri armonici”, di solito indicati come Hn, le somme parziali della serie

armonica Serie armonica: Formula per la definizione dei numeri armonici.

 

Naturalmente sono tutti razionali, tuttavia tranne H1 = 1 nessun numero armonico è intero (Taeisinger, 1915) e tranne H1 = 1, H2 = 1.5 e H6 = 2.45, se rappresentati come numero decimale sono periodici infiniti.

 

Nel 1918 Kürschák dimostrò che la somma di un qualunque numero di termini consecutivi, non necessariamente partendo da 1 (in altri termini, la differenza tra due numeri armonici) non è mai intera.

 

Erdös dimostrò che la somma di reciproci di una progressione aritmetica di due o più termini non è mai una frazione con numeratore 1, ossia una frazione egizia.

 

La serie armonica fu la prima serie non banale di numeri tendenti a zero dimostrata divergente (ossia tale da crescere senza limite). La dimostrazione si deve a Nicole Oresme (1323 – 1382), vescovo di Lisieux, e si basa sul raggruppare i termini, sommando 2n termini consecutivi, tutti maggiori di 2n – 1; si ottengono in tal modo infiniti termini maggiori di Un mezzo, la somma dei quali è chiaramente infinita. La dimostrazione di Oresme andò perduta e fu riscoperta indipendentemente da Pietro Mengoli (Bologna, 1626 – Bologna, 7/6/1686) nel 1647 e da Johann Bernoulli (Basilea, 27/7/1667 – Basilea, 1/1/1748) nel 1687.

Oresme dimostrò anche che Serie convergente a 1, trovando la prima somma non banale di una serie infinita.

 

La tabella seguente mostra i primi valori; H0 è 0 per convenzione.

n

Hn

0

0

1

1

2

Numero armonico H(2)

3

Numero armonico H(3)

4

Numero armonico H(4)

5

Numero armonico H(5)

6

Numero armonico H(6)

7

Numero armonico H(7)

8

Numero armonico H(8)

9

Numero armonico H(9)

10

Numero armonico H(10)

11

Numero armonico H(11)

12

Numero armonico H(12)

13

Numero armonico H(13)

14

Numero armonico H(14)

15

Numero armonico H(15)

16

Numero armonico H(16)

17

Numero armonico H(17)

18

Numero armonico H(18)

19

Numero armonico H(19)

20

Numero armonico H(20)

 

La serie armonica cresce molto lentamente: la tabella mostra quanti termini servano per raggiungere o superare n, per alcuni valori di n.

n

Numero termini

0

0

1

1

2

4

3

11

4

31

5

83

6

227

7

616

8

1674

9

4550

10

12367

11

33617

12

91380

13

248397

14

675214

15

1835421

16

4989191

17

13562027

18

36865412

19

100210581

20

272400600

21

740461601

22

2012783315

100

15092688622113788323693563264538101449859497

1000

oltre 1.75 • 10434

 

Nel 1992 John V. Baxley sviluppò un metodo che rende più agevole il calcolo di questi valori.

 

Se p è primo:

  • Hpn – 1Hn mod p;

  • Hp – 1 ≡ 0 mod p2;

  • Congruenza soddisfatta dai numeri armonici, per p > 3 (Z.H. Sun, 2000).

 

Si conoscono solo 5 casi nei quali il numeratore di un numero armonico sia multiplo di un cubo di un primo: i numeratori di H848, H9338, H10583 e H3546471722268916272 sono multipli di 113 e ve n’è uno multiplo di 833 (David W. Boyd, 1994).

 

A. Eswarathasan ed E. Levin supposero nel 1991 che ogni primo divida solo un numero finito di numeri armonici. La supposizione è stata verificata da David W. Boyd, 1994 per i primi minori di 550, tranne 83, 127 e 397.

 

Nel 2011 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che per n > 4 esista un primo p tale che Hn ≡ 0 mod p e che la stessa congruenza non valga per alcun k < n.

 

Nel 2014 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che per ogni primo p > 5 esista un primo q ≤ (p + 1) / 2 tale che Hq – 1 mod p sia una radice primitiva di p.

Bibliografia

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Havil, Julian;  Gamma, Princeton, Princeton University Press, 2003 -

    Interessante fonte di informazioni sulla costante γ.

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