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Permutazioni cubiche (numero di)

Matematica combinatoria 

Data una permutazione P degli interi da 0 a n, indichiamo con P(k) la posizione nella sequenza occupata da k; per esempio, nella permutazione { 0, 3, 1, 2 } degli interi fino a 3, P(1) = 2, perché 1 va in posizione 2, iniziando a contare da zero.

Si chiamano “permutazioni cubiche” di n le permutazioni di n nelle quali k + P(k) è un cubo per tutti i valori di k da 0 a n.

 

Non è noto per quali numeri esistano permutazioni cubiche; si può dimostrare facilmente che con questa definizione esistono permutazioni cubiche di interi di forme particolari:

  • se n = m3, { n, n – 1, n – 2, n – 3, …, 2, 1, 0 } è una permutazione cubica di n; per esempio, una permutazione cubica di 8 è { 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 };

  • se n = m3 – 1 { 0, n, n – 1, n – 2, n – 3, …, 2, 1 } è una permutazione cubica di n; per esempio, una permutazione cubica di 7 è { 0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 };

  • se n = m3 – 2 { 1, 0, n, n – 1, n – 2, n – 3, …, 2 } è una permutazione cubica di n; per esempio, una permutazione cubica di 6 è { 1, 0, 6, 5, 4, 3, 2 }.

Si possono poi costruire nuove permutazioni cubiche a partire da quelle note, perché se esiste una permutazione cubica di m, n > m e n + m = k3 – 1, allora esiste una permutazione cubica di n: basta concatenare alla permutazione di m gli elementi { n, n – 1, n – 2, … m + 2, m + 1 }. Per esempio, una permutazione cubica di 8 è { 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 } e prendendo n = 18 abbiamo la permutazione { 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9 }.

Esistono quindi permutazioni cubiche degli interi esprimibili come n3m3 – 1 e utilizzando il metodo sopra descritto a partire da queste si possono costruire permutazioni cubiche degli interi esprimibili come n3 + m3k3, con m > k, poi di quelli esprimibili come n3 + m3k3r3 – 1 con m > k e n3 > k3 + r3m3 e così via.

 

Le permutazioni cubiche costruite come indicato sopra non sono le uniche possibili; il minimo intero per il quale sia possibile una permutazione cubica differente è 65: { 64, 63, 62, 61, 4, 59, 58, 57, 56, 55, 54, 53, 52, 51, 50, 49, 48, 47, 46, 45, 44, 43, 42, 41, 40, 39, 38, 37, 36, 35, 34, 33, 32, 31, 30, 29, 28, 27, 26, 25, 24, 23, 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 65, 3, 2, 1, 0 }.

Non si conosce alcun modo per determinare il numero di permutazioni cubiche di un intero, se non esaminando le varie possibilità.

 

La tabella seguente mostra il numero di permutazioni cubiche di n, per n sino a 20 (M. Fiorentini, 2014).

n

Numero di permutazioni cubiche

0

1

1

1

2

0

3

0

4

0

5

0

6

1

7

1

8

1

9

0

10

0

11

0

12

0

13

0

14

0

15

0

16

0

17

0

18

1

19

1

20

1

 

Il termine “permutazioni cubiche” fu proposto per le permutazioni degli interi da 1 a n, nelle quali k + P(k) è un cubo per tutti i valori di k da 1 a n, contando le posizioni a partire da 1. Per esempio, una permutazione del genere degli interi da 1 a 7 è { 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 }.

Per analogia con le permutazioni quadrate trovo però più corretto chiamare “permutazioni cubiche positive” le permutazioni di questo tipo.

 

Non è noto per quali numeri esistano permutazioni cubiche positive; si può dimostrare facilmente che con questa definizione esistono permutazioni cubiche di interi uguali a un cubo meno uno:  se n = m3 – 1 { n, n – 1, n – 2, n – 3, …, 2, 1 } è una permutazione cubica positiva di n; per esempio, una permutazione cubica di 7 è { 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 }.

Si possono poi costruire nuove permutazioni cubiche positive a partire da quelle note, perché se esiste una permutazione cubica positiva di m, n > m e n + m = k3 – 1, allora esiste una permutazione cubica positiva di n: basta concatenare alla permutazione di m gli elementi { n, n – 1, n – 2, … m + 2, m + 1 }. Per esempio, una permutazione cubica positiva di 7 è { 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 } e prendendo n = 19 abbiamo la permutazione { 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8 }.

Esistono quindi permutazioni cubiche positive degli interi esprimibili come n3m3 – 1 e come nel caso delle permutazioni cubiche utilizzando il metodo sopra descritto si possono poi ottenere permutazioni cubiche positive di interi di altre forme.

 

Le permutazioni cubiche costruite come indicato sopra non sono le uniche possibili; il minimo intero per il quale sia possibile una partizione cubica differente è 66: { 63, 62, 5, 4, 3, 58, 57, 56, 55, 54, 53, 52, 51, 50, 49, 48, 47, 46, 45, 44, 43, 42, 41, 40, 39, 38, 37, 36, 35, 34, 33, 32, 31, 30, 29, 28, 27, 26, 25, 24, 23, 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 66, 65, 64, 2, 1, 61, 60, 59 }.

Non si conosce alcun modo per determinare il numero di permutazioni cubiche di un intero, se non esaminando le varie possibilità.

 

La tabella seguente mostra il numero di permutazioni cubiche positive di n, per n sino a 20 (M. Fiorentini, 2014).

n

Numero di permutazioni cubiche positive

1

0

2

0

3

0

4

0

5

0

6

0

7

1

8

0

9

0

10

0

11

0

12

0

13

0

14

0

15

0

16

0

17

0

18

0

19

1

20

0

 

Bibliografia

  • Schwartz, Benjamin L.;  "Square Permutations" in Mathematics Magazine, The Mathematical Association of America, vol. 51, n. 1, gennaio 1978, pag. 64 – 66.

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