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Radici primitive (congetture sulle)

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Congetture di Zhi-Wei Sun sulle radici primitive di forme particolari

Nel 2014 Zhi-Wei Sun presentò una serie di congetture sulle radici primitive di varie forme particolari, supportate da evidenze numeriche; sono qui raccolte le principali.

 

Per ogni primo p esiste un intero n ≤ sqrt/p + 2) + 2, tale che Fn + 1 sia una radice primitiva modulo p; la congettura non vale per Fn, perché per esempio nessun numero di Fibonacci è radice primitiva di 3001.

Lo stesso Sun verificò questa congettura per p fino a 5 • 106.

 

Per ogni primo p esiste un intero n ≤ sqrt/p + 2) + 2, tale che Ln + 1 sia una radice primitiva modulo p; la congettura non vale per Ln, perché per esempio nessun numero di Lucas (I) è radice primitiva di 28657.

Lo stesso Sun verificò questa congettura per p fino a 107.

 

Per ogni primo p esiste una radice primitiva della forma n2 + 1 mod p.

Lo stesso Sun verificò questa congettura per p fino a 107.

 

Per ogni primo p > 3 esiste una radice primitiva che è un numero triangolare.

 

Per ogni primo p > 11 esiste una radice primitiva che è un numero oblungo.

 

Per ogni primo p esiste una radice primitiva minore di p della forma Somma dei primi n numeri primi.

Lo stesso Sun verificò questa congettura per p fino a 107.

 

Per ogni primo pm esiste una radice primitiva della forma Somma dei primi n numeri primi a segni alternati con n ≤ m.

Lo stesso Sun verificò questa congettura per p fino a 250000.

 

Per ogni primo p > 3 esiste un primo q < p / 2, tale che il numero di Mersenne Mq mod p = 2q – 1 mod p sia una radice primitiva di p.

Lo stesso Sun verificò questa congettura per p fino a 107.

 

Per ogni primo p > 7 esiste un primo q < p / 2, tale che q! mod p sia una radice primitiva di p.

Lo stesso Sun verificò questa congettura per p fino a 4409.

 

Per ogni primo p > 3 esiste un numero n, tale che n, 2n – 1 e (n – 1)! mod p siano radici primitive di p.

Lo stesso Sun verificò questa congettura per p fino a 106.

La tabella seguente mostra i minimi valori di n tali che n, 2n – 1 mod p e (n – 1)! mod p siano radici primitive di p per i primi p fino a 100.

p

n

2n – 1 mod p

(n – 1)! mod p

2

1

1

1

3

-

-

-

5

3

3

3

7

5

4

3

11

8

3

2

13

11

7

6

17

5

15

7

19

13

3

10

23

21

12

11

29

10

9

3

31

12

4

22

37

22

21

35

41

24

16

22

43

34

21

29

47

13

14

19

53

31

21

35

59

18

7

23

61

6

3

59

67

41

12

44

71

11

60

61

73

14

32

58

79

53

31

47

83

8

7

60

89

6

64

31

97

26

93

15

 

Per ogni primo p > 3 esiste un primo q < p tale che q mod p e 2qq mod p siano radici primitive di p.

Lo stesso Sun verificò questa congettura per p fino a 106.

 

Per ogni primo p > 3 esiste un primo q < p tale che il numero di Bernoulli Bq – 1 mod p sia una radice primitiva di p.

Lo stesso Sun verificò questa congettura per p fino a 6 • 106.

 

Per ogni primo p > 13 esiste un primo q < p tale che il numero di Eulero Eq – 1 mod p sia una radice primitiva di p.

Lo stesso Sun verificò questa congettura per p fino a 106.

 

Per ogni primo p > 5 esiste un primo q ≤ (p + 1) / 2 tale che il numero armonico (I) Hq – 1 mod p sia una radice primitiva di p.

 

Per ogni primo p > 5 esiste un primo q ≤ (p – 1) / 2 tale che il numero armonico generalizzato Hq – 1, 2 mod p sia una radice primitiva di p.

 

Per ogni primo p > 5 esiste un primo q ≤ (p – 1) / 2 tale che il numero di Catalan Cq mod p sia una radice primitiva di p.

Lo stesso Sun verificò questa congettura per i primi 200000 numeri primi.

 

Per ogni primo p > 3 esiste un primo q ≤ (p – 1) / 2 tale che il numero di Bell bq mod p sia una radice primitiva di p.

Lo stesso Sun verificò questa congettura per i primi 500 numeri primi.

 

Per ogni primo p > 3 esiste un primo q ≤ (p – 1) / 2 tale che il numero di Franel Numero di Franel a(q) sia una radice primitiva di p.

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