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Radici primitive (congetture sulle)

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Congetture di Zhi-Wei Sun sulle radici primitive di forme particolari

Vi sono parecchie congetture sulle radici primitive; elenco alcune delle principali.

 

Artin suppose nel 1927 che ogni intero diverso da 0, 1 e –1 e non multiplo di quadrati sia radice primitiva di infiniti primi (v. congettura di Artin).

 

Nel 1971 E. Vegh avanzò la congettura che per ogni primo o potenza di primo p maggiore di 61, ogni intero positivo minore di p sia esprimibile come differenza di due radici primitive di p.

Un caso particolare è che per ogni primo p maggiore di 7 vi siano almeno due radici primitive consecutive. M. Szalay dimostrò nel 1975 che in questo caso la congettura è vera per i primi maggiori di 1019 e Stephen D. Cohen dimostrò nel 1985 che è vera i primi maggiori di 7 (è facile verificare che la congettura vale anche per 5, ma non vale per 2, 3 e 7).

 

Nel 1984 Samuel W. Golomb avanzò la congettura che per ogni primo p maggiore di 61, ogni intero minore di p e diverso da zero sia esprimibile come somma modulo p di due radici primitive di p.

Q. Sun dimostrò questa congettura nel 1988.

 

Stephen D. Cohen e G.L. Mullen proposero nel 1991 una versione più generale, che comprende le congetture di Vegh e di Golomb come casi particolari: per ogni primo p maggiore di 61, se a, b e c sono interi minori di p in valore assoluto e diversi da zero, esiste almeno una soluzione dell’equazione a ≡= br1 + cr2 mod p, con r1 e r2 radici primitive (non necessariamente distinte) di p.

I due matematici dimostrarono dapprima la congettura per b = 1 e p ≥ 4.78 • 108, poi Cohen nel 1993 ridusse il limite a 3.854 • 107 e dimostrò che in questa forma è valida anche per p pari (ossia doppio di un primo o di una potenza di un primo) e maggiore di 4, mentre non vale per 4. Nel 1991 W.-S. Chou, G. L. Mullen, J.-S. Shiue e Q. Sun esaminarono i valori di p fino a 2170, trovando che la congettura non vale solo per p uguale a 3, 5, 7, 11, 13, 19, 31 43, e 61.

Stephen D. Cohen, Tomás Oliveira e Silva e Tim Trudgian dimostrarono infine la versione generale della congettura nel 2014.

Dal teorema segue in particolare che ogni primo maggiore di 61 ha almeno due radici primitive consecutive.

 

Nel 2012 Zhi-Wei Sun propose tre congetture, molto più forti di quella di Artin (v. congetture di Zhi-Wei Sun sulle sequenze):

  • ogni intero k che non sia una potenza è la minima radice primitiva modulo infiniti primi, inoltre se pn è l’n-esimo primo per il quale k è la minima radice primitiva, p(n)^(1 / n) > p(n + 1)^(1 / (n + 1));

  • per ogni intero k che non sia una potenza, pk è la massima radice primitiva modulo infiniti primi p, inoltre se pn è l’n-esimo primo per il quale pnk è la massima radice primitiva, p(n)^(1 / n) > p(n + 1)^(1 / (n + 1)), tranne nel caso k = 2, n = 13;

  • se Sn è la somma dei primi n primi per il quale k è la minima radice primitiva, S(n + 1)^(1 / (n + 1)) / S(n)^(1 / n) è strettamente crescente per n > 2 e tende a 1.

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