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Perfetti moltiplicativi bi-unitari (numeri)

Teoria dei numeri 

La definizione dei numeri perfetti moltiplicativi può essere modificata considerando solo i divisori bi-unitari, definendo quindi i numeri perfetti moltiplicativi bi-unitari come i numeri naturali n tali che π**(n) = n2, dove π**(n) è il prodotto dei divisori bi-unitari di n, ovvero pari al prodotto dei divisori bi-unitari, escluso il numero stesso.

 

E’ facile individuare questi numeri:

  • un numero primo non può essere un numero perfetto moltiplicativo bi-unitario, perché l’unico divisore unitario diverso dal numero stesso è 1;

  • un quadrato di un primo non può essere un numero perfetto moltiplicativo bi-unitario, perché l’unico divisore unitario diverso dal numero stesso è 1;

  • una potenza di un primo pk con k > 4 non può essere un numero perfetto moltiplicativo bi-unitario, perché i divisori bi-unitari sono tutte le potenze di p da 1 a pk, tranne p^(k / 2), se p è pari, e il loro prodotto, escludendo il numero stesso, è maggiore di pk;

  • il prodotto di tre (o più) potenze di primi distinti paqbrc, con a, b e c maggiori di zero, non può essere un numero perfetto moltiplicativo bi-unitario, perché il prodotto dei divisori bi-unitari paqb, parc e qbrc è maggiore del numero stesso;

  • il prodotto di due potenze primi distinti paqb con esponenti maggiori di 2 non può essere un numero perfetto moltiplicativo bi-unitario, perché il prodotto dei divisori bi-unitari pqb, paq è maggiore del numero stesso.

 

Sono quindi numeri perfetti moltiplicativi bi-unitari tutti e soli i numeri naturali di una delle forme:

  • p3, con p primo, che hanno per divisori bi-unitari minori del numero stesso 1, p e p2;

  • p4, con p primo, che hanno per divisori bi-unitari minori del numero stesso 1, p e p3;

  • pq, con p e q primi distinti, che hanno per divisori bi-unitari minori del numero stesso 1, p e q;

  • pq2 con p e q primi distinti, che hanno per divisori bi-unitari minori del numero stesso 1, p e q2;

  • p2q2 con p e q primi distinti, che hanno per divisori bi-unitari minori del numero stesso 1, p2 e q2.

 

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