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Perfetti moltiplicativi infinito-unitari (numeri)

Teoria dei numeri 

La definizione dei numeri perfetti moltiplicativi può essere modificata considerando solo i divisori infinito-unitari, definendo quindi i numeri perfetti moltiplicativi infinito-unitari come i numeri naturali n tali che π*(n) = n2, dove π*(n) è il prodotto dei divisori infinito-unitari di n, ovvero pari al prodotto dei divisori infinito-unitari, escluso il numero stesso.

 

Sono numeri perfetti moltiplicativi infinito-unitari tutti e soli i numeri naturali di una delle forme:

  • pa + b, con p primo e a e b potenze distinte di 2, che hanno per divisori infinito-unitari minori del numero stesso 1, pa e pb;

  • paqb con p e q primi distinti, e a e b potenze di 2, che hanno per divisori bi-unitari minori del numero stesso 1, pa e qb.

 

Infatti:

  • una potenza di un primo pn con n uguale alla somma di 3 (o più) potenze distinte di 2 non può essere un numero perfetto moltiplicativo infinito-unitario, perché perché se n = a + b + c con a, b e c potenze distinte di 2, il prodotto dei divisori infinito-unitari pa + b, pa + c e pb + c, è maggiore del numero stesso;

  • il prodotto di due potenze primi distinti pnqm, almeno una delle quali somma di due (o più) potenze distinte di 2, non può essere un numero perfetto moltiplicativo infinito-unitario, perché se n = a + b con a e b potenze distinte di 2, il prodotto dei divisori infinito-unitari paq e pbq è maggiore del numero stesso;

  • il prodotto di tre (o più) potenze di primi distinti paqbrc, con a, b e c maggiori di zero, non può essere un numero perfetto moltiplicativo infinito-unitario, perché il prodotto dei divisori infinito-unitari paqb, parc e qbrc è maggiore del numero stesso.

 

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