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Perfetti moltiplicativi (numeri)

Teoria dei numeri 

Mentre i numeri perfetti sono i numeri naturali uguali alla somma dei loro divisori, escluso il numero stesso, i numeri perfetti moltiplicativi sono uguali al prodotto degli stessi divisori, sono cioè i numeri naturali n tali che π(n) = n2.

 

Sono infiniti e sono semplici da trovare: infatti sono perfetti moltiplicativi tutti e soli:

  • i cubi di numeri primi p3, che hanno 1, p e p2 come divisori minori del numero stesso;

  • i prodotti di due numeri primi distinti pq, che hanno 1, p e q come divisori minori del numero stesso.

La dimostrazione che non possono esisterne altri è semplice (v. In Pólya’s Footsteps):

  • una potenza nk con k > 3 non può essere un numero perfetto moltiplicativo, perché il prodotto dei divisori n, n2 e nk – 2 è maggiore di n;

  • il prodotto di tre (o più) primi distinti pqr (o loro potenze) non può essere un numero perfetto moltiplicativo, perché il prodotto dei divisori pr, pq e qr è maggiore di n;

  • il multiplo di una potenza di un primo npk con k > 1 non può essere un numero perfetto moltiplicativo, perché il prodotto dei divisori n, np e npk – 1 è maggiore di n.

 

Una dimostrazione alternativa si basa sul fatto che per n > 1 il prodotto dei divisori di n è Formula per il prodotto dei divisori di n, quindi il prodotto escludendo n è Formula per il prodotto dei divisori di n, escluso n: perché n sia perfetto moltiplicativo, bisogna che d(n) sia 4, quindi che n sia un semiprimo o il cubo di un primo.

 

In modo analogo si possono definire i numeri perfetti k-moltiplicativi, come i numeri uguali alla potenza k-esima dei divisori (incluso il numero stesso), quindi i numeri perfetti moltiplicativi sono perfetti 2-moltiplicativi. Però questi sono definiti dalla condizione n^k = n^(d(n) / 2), con k > 1, vale a dire che tutti i numeri con almeno 4 divisori, esclusi i quadrati, sono k-moltiplicativi, vale a dire tutti i numeri naturali tranne i numeri primi, i semiprimi e i quadrati.

Bibliografia

  • Honsberger, Ross;  In Pólya’s Footsteps, The Mathematical Association of America, 1997 -

    Una magnifica raccolta di problemi a sfondo matematico e geometrico di vario tipo.

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