Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Socievoli esponenziali (numeri)

Teoria dei numeri 

La definizione dei numeri socievoli esponenziali è uguale a quella dei numeri socievoli, considerando però la somma dei soli divisori esponenziali, cioè con σe(n) al posto di σ(n).

Due o più numeri naturali si dicono quindi “socievoli esponenziali” se la somma dei divisori esponenziali di ognuno (escluso il numero stesso) è uguale al successivo e la somma dei divisori esponenziali dell’ultimo (sempre escludendo il numero stesso) è uguale al primo, formando un ciclo. Si dice “ordine” di un ciclo il numero di elementi che lo compongono.

 

I numeri socievoli esponenziali sono una generalizzazione dei numeri perfetti esponenziali, che formano cicli di ordine 1, e dei numeri amichevoli esponenziali, che formano cicli di ordine 2.

 

Il minimo esempio di ordine maggiore di 2 è il ciclo di ordine 9 (6210, 7182, 7698, 7710, 10866, 10878, 11922, 11934, 11502): σe (6210) – 6210 = 7182, σe (7182) – 7182 = 7698, σe (7698) – 7698 = 7710, σe (7710) – 7710 = 10866, σe (10866) – 10866 = 10878, σe (10878) – 10878 = 11922, σe (11922) – 11922 = 11934, σe (11934) – 11934 = 11502, σe (11502) – 11502 = 6210.

 

Il massimo ciclo noto di ordine maggiore di 2 è: 18878925528037698879912739472040700778151487146187774010108983286169600, 19388268973579970384951915585888609710461083487543407016579699926630400, 19911354236427017073917148836622834394788003151362263670795174582681600, 19388268973579968336424903418623557548304815762633376949268909221478400 (Derek Ball, 2000).

 

Si conoscono cicli del genere con 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 21, 25, 28, 44 e 61 elementi.

La tabella seguente riporta il minimo numero noto per le varie lunghezze di ciclo.

Ordine

Numero di cicli noti

Minimo numero

1

Infiniti

36

2

Oltre 3 milioni

90972

3

6

3107089440

4

371

155064

5

1

5904688152

6

13

48261858

7

6

65850

8

3

24024

9

4

6210

21

1

7154199780

25

1

9979770660

28

1

801887064

44

1

18179022

61

1

422395512

 

I cicli di lunghezza 3 noti sono:

  • 3107089440, 3189120480, 3189382560 (David Moews, 2001);

  • 3575061660, 3951386340, 4788025500 (David Moews, 2001);

  • 5362592490, 5927079510, 7182038250 (David Moews, 2001);

  • 5205289776960, 5753218511040, 6971365128000 (Derek Ball, 2001);

  • 7807934665440, 8629827766560, 10457047692000 (Derek Ball, 2002);

  • 111313119845760, 123030365082240, 149079961968000 (Derek Ball, 2001).

 

I cicli di lunghezza 4 composti da numeri minori di 109 sono:

  • 155064, 199752, 243768, 267336 (Pedersen, 1999);

  • 158424, 196392, 173208, 190056 (Pedersen, 1999);

  • 213720, 296328, 246984, 218712 (Pedersen, 1999);

  • 2376360, 2945880, 2598120, 2850840 (Pedersen, 1999);

  • 7021530, 7021710, 7263090, 7263270 (Pedersen, 1999);

  • 7154760, 8759160, 7872840, 7333560 (Pedersen, 1999);

  • 7543704, 8482152, 9913368, 9052392 (Pedersen, 1999);

  • 58834776, 92553384, 111001176, 88250184 (Pedersen, 1999);

  • 104670552, 115197096, 126168600, 115444200 (Pedersen, 1999);

  • 105835134, 105835146, 106130454, 106130466 (Pedersen, 1999);

  • 113155560, 127232280, 148700520, 135785880 (Pedersen, 1999);

  • 128432472, 141405096, 154872600, 141652200 (Pedersen, 1999);

  • 191255520, 208453920, 211173600, 199618080 (Pedersen, 1999);

  • 209524210, 246667790, 231439570, 230143790 (Pedersen, 1999);

  • 253159860, 269387340, 279559380, 279559500 (Pedersen, 1999);

  • 286919640, 329129640, 366436440, 342625320 (Pedersen, 1999);

  • 308947320, 308955240, 319575960, 319583880 (Pedersen, 1999);

  • 349161246, 370792674, 382587678, 371649762 (Pedersen, 1999);

  • 379739790, 404081010, 419339070, 419339250 (Pedersen, 1999).

Qui trovate i 371 cicli noti di ordine 4 noti.

 

L’unico ciclo noto di lunghezza 5 è 5904688152, 6054216168, 7749013272, 8483818728, 10926407448 (David Moews, 2001).

 

I cicli di lunghezza 6 noti sono:

  • 48261858, 53249502, 53249514, 58854966, 58854978, 58325022 (Pedersen, 1999);

  • 116206104, 140477928, 128263512, 124975320, 149970648, 139447272 (Pedersen, 1999);

  • 119785560, 143742936, 120020520, 144024888, 164774856, 143741880 (Pedersen, 1999);

  • 361902840, 503537736, 538024632, 475174632, 397088760, 487585800 (Pedersen, 1999);

  • 482618580, 532495020, 532495140, 588549660, 588549780, 583250220 (Pedersen, 1999);

  • 582129630, 596171970, 621549630, 717175170, 740700270, 740700450 (Pedersen, 1997);

  • 1641424488, 1751237400, 1891350120, 2647893336, 2258480136, 2258480664 (David Moews, 2001);

  • 2123521752, 2342978088, 2342978616, 2589618504, 2589619032, 2566300968 (Pedersen, 1999);

  • 14018303958, 14019500442, 14671570758, 18868701882, 18870049158, 20877963642 (David Moews, 2001);

  • 25613703720, 26231566680, 27348183720, 31555707480, 32590811880, 32590819800 (Pedersen, 1999);

  • 140183039580, 140195004420, 146715707580, 188687018820, 188700491580, 208779636420 (Derek Ball, 2001);

  • 616805374152, 616858019448, 645549113352, 830222882808, 830282162952, 918630400248 (Derek Ball, 2001);

  • 4364739120362880, 4365111657621120, 4568140271210880, 5874959017979520, 5875378505834880, 6500562759573120 (Derek Ball, 2001).

 

I cicli di lunghezza 7 noti sono:

  • 65850, 71430, 100074, 115638, 115650, 85590, 91854 (Pedersen, 1999);

  • 2897400, 3142920, 4403256, 5088072, 5088600, 3765960, 4041576 (Pedersen, 1999);

  • 4684834898016, 4867140768672, 5019556764768, 5036327036832, 5036327054304, 5377476957216, 5748337961184 (Derek Ball, 2005);

  • 46848348980160, 48671407686720, 50195567647680, 50363270368320, 50363270543040, 53774769572160, 57483379611840 (Terr, 2005);

  • 70272523470240, 73007111530080, 75293351471520, 75544905552480, 75544905814560, 80662154358240, 86225069417760 (Derek Ball, 2005);

  • 78489188786156236269572751360000, 81543520520408634067737477120000, 84097080710261911352445665280000, 84378047932945455007069470720000, 84378048225669347379986595840000, 90093634733398480537776783360000, 96306997634659974520999280640000 (Terr, 2005).

 

I cicli di lunghezza 8 noti sono:

  • 24024, 35112, 49368, 47256, 47784, 48312, 33528, 34056 (Pedersen, 1999);

  • 39858, 59598, 67122, 60102, 46170, 45990, 60570, 60750 (Pedersen, 1999);

  • 8225562, 8256390, 12725850, 14373222, 14373234, 11685366, 12598794, 11118438 (Pedersen, 1999).

 

I cicli di lunghezza 9 noti sono:

  • 6210, 7182, 7698, 7710, 10866, 10878, 11922, 11934, 11502 (Pedersen, 1999);

  • 273240, 316008, 338712, 339240, 478104, 478632, 524568, 525096, 506088 (Pedersen, 1999);

  • 10929774, 10965138, 10997742, 16111122, 16111134, 13752546, 14785374, 14825634, 14825646 (Pedersen, 1999);

  • 109297740, 109651380, 109977420, 161111220, 161111340, 137525460, 147853740, 148256340, 148256460 (Pedersen, 1999);

 

L’unico ciclo noto di lunghezza 21 è 7154199780, 10456151580, 10631928420, 8020583580, 8128260420, 11467259580, 14875524420, 15212549820, 17552943780, 18409189980, 18409190100, 19106688300, 18742755540, 19302248940, 22271827380, 26515211340, 26515211460, 26515211580, 22785866820, 15212482380, 10731299220 (David Moews, 2001).

 

L’unico ciclo noto di lunghezza 25 è 9979770660, 10014917340, 10045669380, 10055151420, 10138625700, 9997754460, 10975327140, 11089084380, 15257731620, 15257731740, 15498026340, 15507736860, 23203472100, 18430806300, 14379369540, 15629752380, 19393236420, 19397920380, 21680030820, 27874326300, 20441173140, 13627449060, 14362021020, 14606456100, 13597095900 (David Moews, 2001).

 

L’unico ciclo noto di lunghezza 28 è 801887064, 840404136, 969704472, 1054039272, 1216206552, 1224192552, 1224193080, 1724251848, 1728202872, 1728203400, 1798245240, 2672436360, 3741414072, 3795321288, 4214649912, 4247584968, 3618896952, 3693565128, 3857189688, 2578496712, 2586223992, 2373808008, 2389626360, 1964868840, 2239396632, 1299436776, 945074328, 945074856 (David Moews, 2001).

 

L’unico ciclo noto di lunghezza 44 è 18179022, 18179034, 18466854, 23743194, 23791686, 26296314, 37155846, 59708922, 87268230, 115115130, 132827670, 149052330, 195096150, 147760650, 108358590, 152075490, 266183454, 266183466, 277510998, 320837802, 330549078, 334203738, 398053542, 398053554, 398362638, 401327682, 524576190, 734406738, 743099982, 759799938, 903019902, 903019914, 495519606, 256936338, 171518022, 137786778, 99512766, 88778754, 53133726, 57754338, 64324062, 52629138, 36145422, 24096978 (Pedersen, 1999).

 

L’unico ciclo noto di lunghezza 61 è 422395512, 471075528, 605672760, 971230920, 1359726456, 1366020744, 1368596856, 1372061064, 1439013048, 1441826760, 2169084984, 2169085512, 2195151288, 2200816200, 2376895224, 2383544328, 2390885112, 3190471944, 3526321656, 4068840072, 4143555768, 4148958792, 4148959320, 3219586920, 3724111512, 2710051080, 3794074680, 5311707720, 7436393976, 7545027336, 10101999864, 10357788936, 10368333624, 10388296776, 11986503672, 13830588552, 13830589080, 16633532520, 20194467480, 21540789864, 15625438488, 7943832072, 5691746808, 4016018952, 2721873528, 1814583672, 1405371528, 947533752, 639966888, 426645912, 637802088, 840868248, 840868776, 444156504, 447673512, 573398232, 573398760, 807912600, 884914536, 884915064, 705465288 (Pedersen, 1999).

 

Le ricerche hanno sicuramente individuato tutti i cicli nei quali il numero precedente il massimo del ciclo è superiore a 4 • 1011.

 

Se si inizia da un qualsiasi intero n, si calcola σe(n) – n, si parte dal numero ottenuto e si ripete il procedimento, per tutti i numeri finora esaminati si arriva a 1 o a un ciclo di numeri socievoli esponenziali. Però Peter Hagis dimostrò nel 1988 che esistono infinire sequenze crescenti del genere lunghe a piacere; è quindi possibile che esistano cicli di numeri socievoli esponenziali di lunghezza arbitrariamente grande o addirittura che esistano sequenze che crescono illimitatamente, quindi non è detto che per i numeri socievoli esponenziali valga una congettura analoga alla congettura di Catalan – Dickson.

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