Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Amichevoli esponenziali (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “amichevoli esponenziali” i numeri amichevoli, considerando però la somma dei soli divisori esponenziali, cioè con σe(n) al posto di σ(n).

Quindi n e m sono amichevoli esponenziali se σe(m) = σe(n) = m + n.

Qui trovate le coppie di numeri amichevoli esponenziali col minore della coppia miore di 109.

 

Tutti i numeri primi che dividono uno dei membri di una coppia di numeri amichevoli esponenziali dividono anche l’altro.

 

Da una coppia di numeri amichevoli esponenziali (m, n) se ne possono ricavare infinite altre della forma (km, kn), con k non multiplo di quadrati e MCD(k, mn) = 1. Per esempio, moltiplicando per 5 la coppia 90972, 100548 si ottiene la coppia di numeri amichevoli esponenziali (454860, 502740).

Una coppia di numeri amichevoli esponenziali (m, n) è primitiva, ossia non ricavabile da altre come sopra descritto, se e solo se non esiste alcun numero primo che li divida entrambi e il cui quadrato non divida nessuno dei due.

Per esempio, 90972 = 22 • 32 • 7 • 192 e 100548 = 22 • 33 • 72 • 19 e ciascuno dei quadrati di uno dei quattro primi che dividono entrambi i numeri divide almeno uno di essi, quindi la coppia è primitiva.

 

Se (am, an) è una coppia di numeri amichevoli esponenziali, con MCD(a, m) = MCD(a, n) = 1 ed esiste un intero b tale che MCD(b, m) = MCD(b, n) = 1 e Relazione che a e b devono soddisfare per costruire una nuova coppia di numeri amichevoli esponenziali, allora (bm, bn) è una coppia di numeri amichevoli esponenziali.

Per esempio, Relazione soddisfatta da 4 e 1936, quindi dalla coppia (90972 = 4 • 22743, 100548 = 4 • 25137) si ricava la coppia (90972 = 1936 • 44030448, 100548 = 1936 • 48665232).

 

Le coppie di numeri amichevoli esponenziali primitive col minore della coppia inferiore a 109 sono:

90972, 100548 (Peter Hagis, 1988);

937692, 968436 (Peter Hagis, 1988);

4548600, 5027400 (Peter Hagis, 1988);

44030448, 48665232 (Peter Hagis, 1988);

46884600, 48421800 (Peter Hagis, 1988);

453842928, 468723024 (Peter Hagis, 1988);

712931184, 845775504 (Pedersen 1998);

906494400, 938024640 (Pedersen 1998).

 

Si conoscono oggi oltre 3 milioni di coppie di numeri amichevoli esponenziali primitive, incluse tutte quelle con elementi minori di 4 • 1011, la massima delle quali è costituita da (96374777964226235092263281717576069449116643262336347500768944928603927996198522042554873406608674953285889799639107874094134173903933226115442831794562592378770022561057721945323726864327252244522323067595203572168484713597537346921584270804527848406356389043941957932496737091909436422878838212065693868825698740084506123057331979425938911885912248977976494152394087534985341630929286111161371686803155270295109284707427286921622300237808635598101118882511750814502707838948521558036558253212096136691507410796113654129889327054242157259350853437961456567975763775551005514698213777108737813971847227095787041687955893039519351260500401290022332550825887156978031609699633635151910575510107136780939174179837755543773021019621878322881133900902400, 96374777964340149391592433623801871523077587583009706511032748036732044729910977205266893079726080510826926446049452007361393356759198402426894852083116174761159683058172000632391279814334123266426703339405487940775652516998092884879111214109431748566602088260958000269544858948944554315642231383095721894582241612155419853654755869520055881407558888797952425307231106530154656595344847118821706355521008463618687353267591851498364337479258943845515020280186828837592045533570015277584504290900406764413129991155390573999290839599239081200931684570991652106372905113565357332655897396986981776851456416901573519021682248786441375516855267033587225383461562431155746653941675851638182190250925384958954341970303094555680380046048695757118866099097600) (Derek Ball, 2005).

 

Si può dimostrare che ogni elemento di una coppia di numeri amichevoli esponenziali ha almeno 3 fattori primi distinti; non se ne conosce alcuna nella quale i fattori primi distinti siano meno di 4, ma non è stato dimostrato che 4 sia il minimo.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.