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Perfetti esponenziali primitivi (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “perfetti esponenziali primitivi” i numeri perfetti esponenziali che non siano della forma mn, con n perfetto esponenziale, m non multiplo di quadrati e MCD(m, n) = 1.

Da notare che un numero perfetto esponenziale primitivo può quindi essere un multiplo di un numero perfetto esponenziale; infatti molto probabilmente sono tutti multipli di 36.

 

Un numero perfetto esponenziale è perfetto esponenziale primitivo se e solo se è un numero potente.

 

E.G. Straus e M.V. Subbarao nel 1974 dimostrarono che sono infiniti e tutti pari e che quelli che hanno un numero fissato di fattori primi sono in numero finito e supposero che quelli non divisibili per un primo fissato siano in numero finito (v. congettura dei numeri perfetti esponenziali).

I due matematici dimostrarono anche che dato un insieme S di primi, anche infinito purché tale che Condizione che l'insieme S deve soddisfare sia finito, i numeri perfetti esponenziali primitivi con al massimo n fattori non appartenenti a S sono in numero finito per ogni valore di n.

 

La tabella seguente riporta i numeri perfetti esponenziali primitivi noti; potrebbero essercene altri maggiori di 1015 (Donovan Johnson, 2011).

Numero

Scopritore e anno

36 = 22 • 32

E.G. Straus e M.V. Subbarao, 1974

1800 = 23 • 32 • 52

E.G. Straus e M.V. Subbarao, 1974

2700 = 22 • 33 • 52

E.G. Straus e M.V. Subbarao, 1974

17424 = 24 • 32 • 112

E.G. Straus e M.V. Subbarao, 1974

1306800 = 24 • 33 • 52 • 112

E.G. Straus e M.V. Subbarao, 1974

4769856 = 26 • 32 • 72 • 132

E.G. Straus e M.V. Subbarao, 1974

238492800 = 27 • 32 • 52 • 72 • 132

E.G. Straus e M.V. Subbarao, 1974

357739200 = 26 • 33 • 52 • 72 • 132

E.G. Straus e M.V. Subbarao, 1974

54531590400 = 28 • 32 • 52 • 72 • 1392

E.G. Straus e M.V. Subbarao, 1974

168136940595306022660197936246988800 = 213 • 34 • 52 • 72 • 113 • 132 • 172 • 192 • 313 • 372 • 612 • 2412

Moews e Moews, 1998

11712310558743727210993873194516480000 = 219 • 32 • 54 • 72 • 113 • 132 • 192 • 312 • 372 • 612 • 1092 • 1312

Moews e Moews, 1998

1307484087615221689700651798824550400000 = 219 • 32 • 55 • 72 • 112 • 132 • 192 • 372 • 792 • 1092 • 1572 • 3132

E.G. Straus e M.V. Subbarao, 1974

Bibliografia

  • Straus, E.G.;  Subbarao, M.V.;  "On Exponential Divisors" in Duke Mathematical Journal, n. 4, 1974, pag. 465 – 471.

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