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Partizioni piane auto-complementari (numero di)

Matematica combinatoria 

Il complemento di una partizione piana contenuta in uno schema rettangolare si ottiene sostituendo ogni valore con la differenza rispetto al valore contenuto nell’angolo superiore sinistro e poi riflettendo specularmente lo schema. Un modo molto semplice di visualizzare l’operazione è immaginare la partizione come una serie di pile di scatole cubiche appoggiate a un vertice di un parallelepipedo: il complemento è formato dalle scatole che mancano per riempire il parallelepipedo, delimitato dalla massima estensione nel piano dello schema e dall’altezza della pila più alta, che si trova nell’angolo superiore sinistro.

 

Una partizione piana si dice auto-complementare se coincide col suo complemento.

Per esempio, una partizione piana auto-complementare di 40 è la seguente.

4

3

3

3

2

4

2

2

2

1

3

2

2

2

 

2

1

1

1

 

 

La figura seguente mostra la disposizione corrispondente alla partizione piana auto-complementare mostrata sopra.

 

Raffigurazione di una partizione piana auto-complementare di 40

 

 

Per esempio, le 6 partizioni piane auto-complementari di 6 sono:

3

2

1

 

 

3

1

2

 

2

2

1

1

 

 

2

1

1

1

1

 

2

1

2

 

1

 

2

1

1

1

1

 

 

Dato che in una partizione auto-complementare il numero di scatole è uguale al numero di scatole del complemento, una partizione del genere di n è possibile solo se almeno uno degli spigoli del parallelepipedo è pari e quindi se solo se n è zero o composto.

 

La tabella seguente mostra i numeri di partizioni piane auto-complementari per n sino a 20.

n

Numero di partizioni piane auto-complementari

0

1

1

0

2

0

3

0

4

1

5

0

6

6

7

0

8

9

9

12

10

12

11

0

12

63

13

0

14

18

15

66

16

72

17

0

18

189

19

0

20

201

 

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