Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Persistenti (numeri) (III)

Rappresentazione dei numeri 

Dato un numero naturale, moltiplichiamo le sue cifre, ottenendo un nuovo numero; moltiplichiamo le cifre di questo e proseguiamo, sino a restare con zero o un numero di una sola cifra. Dato che a ogni passo il prodotto è sempre inferiore al numero considerato, il procedimento deve arrestarsi in un numero finito di passi.

 

Se iniziando da un numero naturale servono k passi di questo procedimento per arrivare a zero o a un numero di una sola cifra, si dice che il numero di partenza ha persistenza moltiplicativa k o, talvolta, che è k-persistente.

 

Così, per esempio, 88 è 3-persistente, perché moltiplicando le cifre di 88 si ottiene 64, moltiplicando le cifre di 64 si ottiene 24, moltiplicando le cifre di 24 si ottiene 8 e il procedimento si arresta.

Se compare uno zero in un prodotto, il passo successivo è l’ultimo, perché il prodotto si annulla.

 

Al crescere del numero la persistenza moltiplicativa tende naturalmente ad aumentare, apparentemente all’incirca come loglogn, ma Neil J.A. Sloane scoprì che 11 sembra essere il massimo: dimostrò infatti che non esistono numeri 12-persistenti con fino a 50 cifre, mentre la semplice crescita indicata sopra lascerebbe supporre l’esistenza di un numero 12-persistente di 17 cifre.

Il limite superiore della ricerca è stato in seguito aumentato, sempre senza trovare numeri 12-persistenti, fino a:

  • 50 cifre (Neil J.A. Sloane, 1973);

  • 233 cifre (P. Carmody, 2001);

  • 3000 cifre (Sasha Kurz, 2003).

 

Esistono infiniti numeri per ogni possibile persistenza moltiplicativa: dato un numero naturale, infatti, se ne possono generare infiniti altri con la stessa persistenza, semplicemente premettendo una sequenza di cifre 1. Così, per esempio, 39 è 3 persistente e tali sono 139, 1139 ecc..

 

La tabella seguente riporta il minimo numero e il minimo primo con persistenza moltiplicativa n, per n fino a 11.

n

Minimo numero n-persistente

Minimo primo n-persistente

0

0

2

1

10

11

2

25

29

3

39

47

4

77

277

5

679

769

6

6788

8867

7

68889

186889

8

2677889

2678789

9

26888999

26899889

10

3778888999

3778888999

11

277777788888899

277777788888989

 

L’idea può esser generalizzata a basi diverse da 10. E’ facile vedere che in base 2 ogni numero ha persistenza moltiplicativa al massimo 1; in base 3 M. Beeler e R.W. Gosper imostrarono nel 1972 che non esistono numeri con persistenza moltiplicativa maggiore di 3 con meno di 3073901 cifre, limite aumentato a 1011 da Sasha Kurz nel 2003.

 

La tabella seguente riporta la massima persistenza moltiplicativa nota, nelle basi da 2 a 12.

Base

Massima persistenza moltiplicativa

Limite della ricerca (numero di cifre)

2

1

-

3

3

1011 (Sasha Kurz, 2003)

4

3

4 • 109 (Sasha Kurz, 2003)

5

6

20000 (Sasha Kurz, 2003)

6

5

10000 (Sasha Kurz, 2003)

7

8

1000 (Sasha Kurz, 2003)

8

6

1000 (Sasha Kurz, 2003)

9

7

1000 (Sasha Kurz, 2003)

10

11

3000 (Sasha Kurz, 2003)

11

13

250 (Stephanie Perez e Robert Styer, 2013)

12

7

250 (Stephanie Perez e Robert Styer, 2013)

 

L’abisso che in ogni base separa il minimo numero con la massima persistenza moltiplicativa nota dal limite di ricerca, entro il quale non è stato trovato alcun numero con persistenza moltiplicativa maggiore, ha convinto tutti che la persistenza sia limitata, ma una dimostrazione appare al momento difficile.

 

Un’altra congettura sulla persistenza moltiplicativa è che per ogni k esiste un massimo numero k-persistente che non contenga la cifra 1; in base 10 il massimo numero noto senza cifra 1 che sia 11-persistente è 77777733332222222222222222222.

 

Una variante sul tema è la persistenza k-moltiplicativa: in questo caso si moltiplicano tra loro le potenze k-esime delle cifre del numero, ripetendo il procedimento; la persistenza k-moltiplicativa è allora definita come il numero di passi necessari per arrivare a 0 o 1. L’evidenza sperimentale suggerisce che, a parte i numeri pluriunitari, dai quali si raggiunge 1 in un solo passo, si arrivi sempre a zero, perché prima o poi nel prodotto compare uno zero (o una combinazione di 5 e una cifra pari, che generano 0 al passo successivo), però non mi risulta che sia stata trovata una dimostrazione rigorosa.

 

La tabella seguente riporta la persistenza k-moltiplicativa dei numeri naturali fino a 20 per k fino a 10 (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Numero \ k

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

7

4

4

4

3

4

3

3

2

3

6

5

3

4

3

3

3

3

2

4

6

4

3

2

2

3

3

3

2

5

3

3

3

3

3

3

2

3

3

6

5

4

3

3

3

3

4

2

2

7

5

4

2

2

3

3

2

2

3

8

4

3

2

3

3

2

3

3

2

9

5

3

3

2

3

3

2

2

2

10

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

12

7

4

4

4

3

4

3

3

2

13

6

5

3

4

3

3

3

3

2

14

6

4

3

2

2

3

3

3

2

15

3

3

3

3

3

3

2

3

3

16

5

4

3

3

3

3

4

2

2

17

5

4

2

2

3

3

2

2

3

18

4

3

2

3

3

2

3

3

2

19

5

3

3

2

3

3

2

2

2

20

1

1

1

1

1

1

1

1

1

 

Erdös suggerì di modificare la definizione di persistenza moltiplicativa, escludendo gli zeri dal prodotto e dimostrò che con questa definizione la persistenza moltiplicativa di un numero n in base b è al massimo Formula per la massima persistenza moltiplicativa.

Con questa definizione non sembra esserci limite superiore alla persistenza moltiplicativa.

 

La tabella seguente riporta il minimo numero con persistenza moltiplicativa n, con la definizione di Erdös, per n fino a 14 (Ray Chandler, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Minimo numero n-persistente

0

0

1

10

2

25

3

39

4

77

5

679

6

6788

7

68889

8

2677889

9

26888999

10

3778888999

11

267777777889999

12

77777777788888888888899999

13

37777777777777777777777777778888889999999999999999999

14

55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555577777777777777777779999999999999999999999999999999999999

 

Bibliografia

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

  • Sloane, Neil J.A.;  "The Persistence of a Number" in Journal of Recreational Mathematics, Vol. 6, n. 2, 1973.

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