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Partizioni autoconiugate (numero di)

Matematica combinatoria 

Le partizioni sono spesso rappresentate mediante i diagrammi di Ferrers, nei quali ogni riga rappresenta un addendo e contiene un numero di punti uguale al valore dell’addendo, in ordine non crescente di valore dall’alto in basso.

La figura seguente mostra il diagramma di Ferrers corrispondente alla partizione 14 = 6 + 3 + 2 + 1 + 1.

 

Diagramma di Ferrers corrispondente alla partizione 14 = 6 + 3 + 2 + 1 + 1

 

 

Due partizioni si dicono coniugate, se il diagramma di Ferrers dell’una si ottiene per riflessione rispetto alla diagonale da quello dell’altra, come le due partizioni 14 = 6 + 3 + 2 + 1 + 1 e 14 = 5 + 4 + 2 + 1 + 1 + 1, i diagrammi delle quali sono mostrati nella figura seguente.

 

Diagramma di Ferrers corrispondente alle partizioni coniugate 14 = 6 + 3 + 2 + 1 + 1 e 14 = 5 + 4 + 2 + 1 + 1 + 1

 

 

Una partizione si chiama “autoconiugata” se è uguale alla sua coniugata, come la partizione 14 = 5 + 4 + 2 + 2 + 1, ovvero se il corrispondente diagramma di Ferrers è simmetrico rispetto alla diagonale, come mostrato nella figura seguente.

 

Diagramma di Ferrers corrispondente alla partizione autoconiugata 14 = 5 + 4 + 2 + 2 + 1

 

 

Il numero di partizioni autoconiugate pa(n) si può calcolare con la ricorrenza pa(0) = 1, Formula per il calcolo del numero di partizioni autoconiugate, dove σd(n) è la somma dei divisori dispari di n.

 

La funzione generatrice del numero di partizioni autoconiugate è Funzione generatrice del numero di partizioni autoconiugate .

 

I numeri di partizioni autoconiugate per n sino a 20 sono riportati nella tabella seguente.

n

pa(n)

0

1

1

1

2

0

3

1

4

1

5

1

6

1

7

1

8

2

9

2

10

2

11

2

12

3

13

3

14

3

15

4

16

5

17

5

18

5

19

6

20

7

 

L’unico intero che non abbia partizioni autoconiugate è 2.

 

Il numero di partizioni autoconiugate di n è uguale:

  • al numero di partizioni di n con un numero pari di parti pari meno il numero di quelle con un numero dispari di parti pari;

  • al numero di partizioni di n in parti dispari distinte;

  • alla somma dei numeri di partizioni di (n – k^2) / 2 in parti non superiori a k per tutti i numeri naturali k con la stessa parità di n e tali che k2 < n.

 

Vedi anche

Numero di partizioni.

Bibliografia

  • Bressoud, David M.;  Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture, Cambridge, Cambridge University Press, 1999.

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