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Partizioni piane ciclicamente simmetriche (numero di)

Matematica combinatoria 

Una partizione piana ciclicamente simmetrica di n è una partizione piana di n, che resta tale scambiando ciclicamente le coordinate x, y e z (dove quest’ultima è il numero contenuto in ogni casella).

 

Per esempio, una partizione piana ciclicamente simmetrica di 75 è la seguente.

6

5

5

4

3

3

6

4

3

3

1

 

6

4

3

1

1

 

4

2

2

1

 

 

3

1

1

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

Un’interpretazione fisica si ottiene immaginando pile di scatole identiche, ammassate in un angolo, in modo che ciascuna si appoggi alla pila a sinistra e a quella in alto, tranne quelle estreme, appoggiate ai muri. Una partizione piana ciclicamente simmetrica rappresenta allora una disposizione stabile, con gli interi che indicano l’altezza di ogni singola pila, che resta invariata permutando ciclicamente le coordinate.

La figura seguente mostra la disposizione corrispondente alla partizione piana ciclicamente simmetrica mostrata sopra.

 

Raffigurazione di una partizione piana ciclicamente simmetrica di 75

 

 

Per esempio, le 5 partizioni piane ciclicamente simmetriche di 16 sono:

6

1

1

1

1

1

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

5

2

1

1

1

2

1

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

4

3

1

1

2

1

1

 

2

 

 

 

1

 

 

 

4

2

2

1

3

1

 

 

1

1

 

 

1

 

 

 

3

3

2

3

1

1

2

1

 

 

La tabella seguente mostra il numero di partizioni piane ciclicamente simmetriche di n per n fino a 20.

n

Numero di partizioni piane ciclicamente simmetriche

0

1

1

1

2

0

3

0

4

1

5

0

6

0

7

2

8

1

9

0

10

2

11

1

12

0

13

4

14

3

15

0

16

5

17

4

18

0

19

8

20

8

 

 

Il numero di partizioni piane ciclicamente simmetriche con interi non superiori a n, che quindi possono essere contenute in un cubo di spigolo n, è Formula per il numero di partizioni piane simmetriche con interi non superiori a n.

 

La tabella seguente mostra il numero di partizioni piane ciclicamente simmetriche contenute in un cubo di spigolo n per n fino a 20.

n

Numero di partizioni piane ciclicamente simmetriche contenute in un cubo di spigolo n

0

1

1

2

2

5

3

20

4

132

5

1452

6

26741

7

826540

8

42939620

9

3752922788

10

552176360205

11

136830327773400

12

57125602787130000

13

40191587143536420000

14

47663133295107416936400

15

95288872904963020131203520

16

321195665986577042490185260608

17

1825621025091970952461683189714240

18

17498580094680296849166491514620858960

19

282864115826540259457020866955786597206368

20

7711920365637466944268198334152183056187309072

 

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