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Partizioni piane simmetriche (numero di)

Matematica combinatoria 

Una partizione piana simmetrica di n è una partizione piana di n, simmetrica rispetto alla diagonale (da sinistra in alto a destra in basso) dello schema.

 

Per esempio, una partizione piana simmetrica di 23 è la seguente.

4

3

2

1

1

3

3

1

 

 

2

1

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Un’interpretazione fisica si ottiene immaginando pile di scatole identiche, ammassate in un angolo, in modo che ciascuna si appoggi alla pila a sinistra e a quella in alto, tranne quelle estreme, appoggiate ai muri. Una partizione piana simmetrica rappresenta allora una disposizione rispetto alla diagonale.

La figura seguente mostra la disposizione corrispondente alla partizione piana simmetrica mostrata sopra.

 

Raffigurazione di una partizione piana simmetrica di 23

 

 

Per esempio, le 6 partizioni piane simmetriche di 6 sono:

6

4

1

1

 

3

1

1

1

2

2

2

 

2

1

1

1

 

 

1

 

 

1

1

1

1

1

 

1

 

 

 

La tabella seguente mostra il numero di partizioni piane simmetriche di n per n fino a 20.

n

Numero di partizioni piane simmetriche

0

1

1

1

2

1

3

2

4

3

5

4

6

6

7

8

8

12

9

16

10

22

11

29

12

41

13

53

14

71

15

93

16

125

17

160

18

211

19

270

20

354

 

Mac Mahon suppose nel 1896 che la funzione generatrice per il numero di partizioni piane contenute un quadrato n × n (senza necessariamente riempirlo), con interi non superiori a n sia Funzione generatrice per il numero di partizioni piane contenute un quadrato n × n con interi non superiori a n; nel 1971 Basil Gordon dimostrò che questa è effettivamente la funzione generatrice e nel 1977 George Andrews e Ian Macdonald dimostrarono che se ne può ricavare una formula per il numero di partizioni piane simmetriche con interi non superiori a c: Formula per il numero di partizioni piane simmetriche con interi non superiori a c, che per c = n, quindi per partizioni che possono essere contenute in un cubo di spigolo n, diviene Formula per il numero di partizioni piane simmetriche con interi non superiori a n.

 

La tabella seguente mostra il numero di partizioni piane simmetriche contenute in un cubo di spigolo n per n fino a 20.

n

Numero di partizioni piane simmetriche contenute in un cubo di spigolo n

0

1

1

2

2

10

3

112

4

2772

5

151008

6

18076916

7

4751252480

8

2740612658576

9

3468301123758080

10

9627912669442441500

11

58618653300361405440000

12

782683432110638830001250000

13

22916694891747599820616089600000

14

1471328419282772010324439370939640000

15

207128817998739967595148962220780866764800

16

63933715835026671012966859285185181501323997440

17

43267914495358970648777404568154568798671968497827840

18

64200558470613673551239226499381961937440414451082039951168

19

208852832272601292482368757094155834497038018574249053066065084416

20

1489580068908851107160300593047932148294854846411081640244977083071054288

 

Nel 2010 Tewodros Amdeberhan e Victor H. Moll dimostrarono che il numero di partizioni piane simmetriche contenute in un cubo di spigolo n è uguale al prodotto del numero di partizioni piane totalmente simmetriche contenute nello stesso cubo per il numero di partizioni piane totalmente simmetriche auto-complementari contenute in un cubo di spigolo doppio.

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