Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Irrazionali quadratici espressi tramite frazioni continue
  3. 3. Rappresentazione di alcune costanti tramite frazioni continue
  4. 4. Funzioni espresse tramite frazioni continue
  5. 5. Costanti definite tramite frazioni continue

Le frazioni continue sono spesso utilizzate anche per ottenere approssimazioni di funzioni, dato che per ogni valore rappresentabile tramite sviluppo in serie (di solito di potenze) Sviluppo di f in serie la trasformazione di Eulero ci porta a una frazione continua: Espressione di F come frazione continua, con a0 = c0, a1 = 1, b1 = c1, Formula per a(n)Formula per b(n), per n > 1.

In alcuni casi la frazione risultante è anche particolarmente semplice ed elegante.

 

Una trasformazione interessante di serie in frazione continua è: Trasformazione di una serie in frazione continua, per x > 0.

 

Tra i casi particolari, abbiamo i seguenti:

  • per x = 1 / 3, Trasformazione di una serie in frazione continua.

  • per x = 1, Trasformazione di una serie in frazione continua;

  • per x = 2, Trasformazione di una serie in frazione continua;

  • per x = 3, Trasformazione di una serie in frazione continua.

 

Alcuni esempi di funzioni esprimibili come frazioni continue:

  • Sviluppo di (1 + z)^a in frazione continua, dove d(n) è il subfattoriale di n;

  • Sviluppo di 2^x in frazione continua;

  • Sviluppo di (1 + z)^a in frazione continua, per z non reale e minore di –1;

  • Sviluppo di (1 + z)^a in frazione continua, per |z| ≤ 1 / 2;

  • Sviluppo di (1 + z)^a in frazione continua, per z non reale e minore di –1;

  • Sviluppo di (1 + z)^a in frazione continua, per |z| < 1;

  • Sviluppo di (x^n + y)^(1 / n) in frazione continua e in particolare Sviluppo di z^(1 / z) in frazione continua, per z non reale negativo o nullo (A.N. Khovanskii, 1963);

  • Sviluppo di (x^n + y)^n in frazione continuae in particolare Sviluppo di z^(1 / z) in frazione continua, per z non reale negativo o nullo (A.N. Khovanskii, 1963);

  • Sviluppo delle radici di e in frazione continua semplice, per k > 1, dove n è l’indice del termine, e in particolare Sviluppo della radice quadrata di e in frazione continua;

  • Sviluppo delle radici di e^2 in frazione continua semplice, per k dispari e maggiore di 1, dove n è l’indice del termine; non si conosce alcuna formula analoga per lo sviluppo di e elevato a potenza con esponente razionale, con n > 2 e n e m primi tra loro, né sembra esserci alcuna regolarità nei termini di tali frazioni;

  • Sviluppo della radice quadrata di x in frazione continua, per x > 0;

  • Sviluppo della radice quadrata di x + 1 in frazione continua, per x ≥ –1;

  • Sviluppo della radice quadrata di x + 1 in frazione continua, per x ≥ –1;

  • Sviluppo della radice quadrata di a^2 + b in frazione continua, per a2 + b ≥ 0;

  • Sviluppo di (a + sqrt(a^2 + 4 * b)) / 2 in frazione continua, per a > 0 e a2 + b ≥ 0;

  • Sviluppo di sin(x) in frazione continua;

  • Sviluppo di cos(x) in frazione continua;

  • Sviluppo di tan(z) in frazione continua;

  • Sviluppo di tan(z) in frazione continua;

  • Sviluppo di tan(1 / x) in frazione continua semplice, per x > 1, dove n è l’indice del termine, e in particolare Sviluppo di tan(1 / 2) in frazione continua semplice;

  • Sviluppo di 1 / tan(z) in frazione continua;

  • Sviluppo di 1 / tan(z) in frazione continua;

  • Sviluppo di 1 / tan(z) in frazione continua;

  • Sviluppo di arcsin(x) in frazione continua, per |x| < 1;

  • Sviluppo di arctan(x) in frazione continua, detta “frazione continua di Eulero” (il nome fu attribuito da Borwein nel 2004) , per |x| ≤ 1;

  • Sviluppo di arctan(z) in frazione continua;

  • Sviluppo di arctan(z) in frazione continua;

  • Sviluppo di arctan(z) in frazione continua;

  • Sviluppo di sinh(x) in frazione continua;

  • Sviluppo di cosh(x) in frazione continua;

  • cosh(x) espresso tramite f(x), dove Sviluppo di f(x) in frazione continua;

  • Sviluppo di tanh(1 / x) in frazione continua semplice, per x ≠ 0, dove n è l’indice del termine, e in particolare Sviluppo di tanh(1 / x) in frazione continua semplice, tanh1 = [0; 2n – 1] ≈ 0.7615941560 e Sviluppo di tanh(1 / 2) in frazione continua semplice;

  • Sviluppo di tanh(x) in frazione continua, detta “frazione continua di Lambert" (la formula fu in realtà dimostrata da Gauss nel 1812);

  • Sviluppo di tanh(x / 2) in frazione continua;

  • Sviluppo di tanh(1 / x) in frazione continua;

  • Sviluppo di 1 / tanh(z) in frazione continua;

  • Sviluppo di 1 / tanh(z) in frazione continua;

  • Sviluppo di 1 / tanh(z) in frazione continua;

  • Sviluppo di arcsinh(x) in frazione continua;

  • Sviluppo di arccosh(x) in frazione continua, per |x| < 1;

  • Sviluppo di arctanh(x) in frazione continua, per |x| < 1;

  • Sviluppo di arctanh(x) in frazione continua, per |x| < 1;

  • Sviluppo di arctanh(x) in frazione continua, per |x| < 1;

  • Sviluppo di e^x in frazione continua;

  • Sviluppo di e^x in frazione continua;

  • Sviluppo di e^sqrt(x) in frazione continua, per x ≥ 0;

  • Sviluppo di (e^x – 1) / (e^x + 1) in frazione continua;

  • Sviluppo di (e^(2 / x) + 1) / (e^(2 / x) – 1) in frazione continua, per x ≠ 0;

  • Sviluppo di log(x + 1) in frazione continua, per x > –1;

  • Sviluppo di log(x + 1) in frazione continua, per x > –1;

  • Sviluppo di log((1 + x) / (1- x)) in frazione continua, per |x| < 1;

  • Sviluppo di erf(x) in frazione continua, per x ≥ 0 (Ramanujan);

  • Sviluppo di erfc(x) in frazione continua, per x ≥ 0;

  • Espressione di una serie tramite frazione continua;

  • Espressione di una funzione tramite frazione continua, con a, b, c e z complessi, c non un intero negativo, per |z| < 1 o per |z| = 1, se Re(cab) > 0 (frazione continua di Gauss);

  • Espressione di un prodotto infinito tramite frazione continua, dove n è l’indice del termine;

  • Espressione di un integrale tramite frazione continua, frazione continua di Oskar Perron, per s > –1 e –1 < x ≤ 1;

  • Espressione di una funzione tramite frazione continua, frazione continua di Rogers – Ramanujan, così chiamata perché scoperta da Rogers nel 1894, poi riscoperta indipendentementa da Ramanujan nel 1913 (e poi ancora da Schur nel 1917).

 

La funzione definita tramite la frazione continua di Rogers – Ramanujan ha varie proprietà interessanti, la più stravagante delle quali, dimostrata ovviamente da Ramanujan, è che Valori algebrici della funzione R è un numero algebrico per n intero. In particolare R(1) = φ – 1 ≈ 0.6180339887; Valore algebrico della funzione R e Valore algebrico della funzione R.

Bibliografia

  • Backeljauw, Franky;  Cuyt, Anne;  "Algorithm 895: A Continued Fractions Package for Special Functions" in ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 36, n. 3, 2010.
  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Cantor, David G.;  Galyean, Paul H.;  Zimmer, Horst G.;  "A continued fraction algorithm for real algebraic numbers" in Mathematics of Computation, n. 26, 1972, pag. 785 – 791.
  • Clawson, Calvin C.;  Mathematical Mysteries, Basic Books, 1996.
  • Olds, C.D.;  Continued Fractions, New York, Random House, 1963 -

    Un classico sulle frazioni continue.

  • Perron, Oskar;  Die Lehre von den Kettenbrücken, Stuttgart, Teubner, vol I e II, 1954 -

    La Bibbia delle frazioni continue, almeno fino al momento in cui furono scritti.

  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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