Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Irrazionali quadratici espressi tramite frazioni continue
  3. 3. Rappresentazione di alcune costanti tramite frazioni continue
  4. 4. Funzioni espresse tramite frazioni continue
  5. 5. Costanti definite tramite frazioni continue

Vi sono molte frazioni continue semplici che, pur non essendo periodiche, sono regolari, nel senso che an è una funzione di n, come quelle riportate nella tabella seguente. Nella tabella n indica l’indice del termine, quindi, per esempio, [ 1; 2n + 2, 1, n, 1 ] indica la frazione continua [ 1; 4, 1, 3, 1, 12, 1, 7, 1, 20, 1, 11, 1, 28, 1, 15, 1, … ].

Costante

Valore approssimato

Frazione continua

Costante di Du Bois-Reymond c2

0.1945280495

[ 0; 2n + 3 ]

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

0.2400790854

[ 0; 8n – 4, 8n – 2 ]

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

0.6795704571

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua semplice regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

0.8582676565

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua semplice regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

0.8591409142

[ 0; 1, 4n2 ] (Eulero 1737)

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

0.9060939428

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua semplice regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

0.9645382126

[ 0; 2n – 1, 18n – 9 ]

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.1109902056

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua semplice regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.1112372317

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua semplice regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.1425485874

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua semplice regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.1431870779

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua semplice regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.1989527624

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua semplice regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.2011836088

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua semplice regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.2084602421

[ 1; 2n + 2, 1, n, 1 ]

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.2394272762

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua semplice regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.2915857574

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua semplice regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.3591409142

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua semplice regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.4359911242

[ Π(1); Π(n + 1) ]

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.5414940825

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua semplice regolare

tan1

1.5574077247

[ 1; n, 1 ]

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.7098034429

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua semplice regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.8556732235

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua semplice regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

2.1639534137

[ 2; 4n + 2 ]

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

2.3227261395

[ 2; 2n + 1, 4n + 2 ]

e

2.7182818285

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

3.7587296006

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua semplice regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare, reciproco della Costante di Du Bois-Reymond c2

5.1406468257

[ 5; 2n + 5 ]

e2

7.3890560989

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua semplice regolare

 

Ammettendo l’uso di termini negativi, la frazione continua non è più semplice, tuttavia si ottengono sempre ottime approssimazioni, troncando lo sviluppo:

  • per φ si ottiene [ 0; 1, 1, 1, 1 ];

  • per e si ottiene [ 3; –4, 2, 5, –2, –7, 2, 9, –2, –11, 2, 13, –2, –15, 2, 17, –2, –19, 2, 21, –2, –23, 2, 25, –2, –27, 2, 29, –2, –31, 2, 33, –2, –35, 2, 37, –2, –39, 2, 41, –2, –43, 2, 45, –2, –47, 2, 49, –2, –51, 2, 53, –2, –55, 2, 57, –2, –59, 2, 61, –2, –63, 2, 65, –2, –67, 2, 69, –2, –71, 2, 73, –2, –75, 2, 77, –2, –79, 2, 81, –2, –83, 2, 85, –2, –87, 2, … ];

  • per π si ottiene [ 3; 7, 16, –294, 3, –4, 5, –15, –3, 2, 2, 2, 2, 3, –85, –3, 2, 15, 3, 14, –5, –2, –6, –6, –100, 3, 2, 6, 3, 6, –2, –6, –9, 9, –3, –3, –8, 4, –2, –13, 3, –5, 2, 9, –2, –3, 8, –2, –5, –2, –2, –4, 3, 4, 4, 17, –162, –46, 24, –3, –3, 6, –3, –25, 4, –5, 4, –2, –10, –2, –5, –5, 3, 2, 9, –6, –2, –2, –27, 6, –2, –8, –2, –42, –3, 8, 3, 4, –2, –7, –2, –4, … ].

 

Come curiosità riporto anche alcune frazioni continue che sono semplicemente l’espansione di zero (in queste formule rn è l’esponente della massima potenza di 2 che divida n, ovvero n = 2 ^ r(n) * d, con d dispari e n è l’indice del termine): Rappresentazione di zero mediante una frazione continua regolare , Rappresentazione di zero mediante una frazione continua regolare , [ 0; 1, rnn ], [ 0; 1, rnn ], Rappresentazione di zero mediante una frazione continua regolare .

 

Utilizzando frazioni continue non semplici si possono avere più rappresentazioni della stessa costante; in molti casi la rappresentazione mostra una certa regolarità, nel senso che numeratori e denominatori possono essere calcolati facilmente.

 

La tabella seguente mostra la rappresentazione tramite frazione continua di alcune costanti.

Costante

Valore approssimato

Frazione continua

Costante di Thue – Morse

0.4124540336

Rappresentazione della costante di Thue – Morse mediante una frazione continua regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

0.5819767069

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.2158542037

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.2732395447

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua regolare , Rappresentazione della costante mediante una frazione continua regolare , che si ricava da una rappresentazione di tan–11

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.3922111912

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.5251352762

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.5414940825

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua regolare

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.5505460967

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua regolare , dove l’n-esimo numeratore (contandoli a partire da zero) è dato da Valore dell'n-esimo numeratore

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare (v. costante di Favard K1)

1.5707963268

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua regolare , dove l’n-esimo numeratore (contandoli a partire da zero), tranne il primo, è dato da (n + (– 1)n) (n + (– 1)n + 1), cioè (n + 1)(n + 2) per n pari e n(n – 1) per n dispari

Costante rappresentabile mediante una frazione continua regolare

1.7519383939

Rappresentazione della costante mediante una frazione continua regolare

e

2.7182818285

Rappresentazione di e mediante una frazione continua regolare Rappresentazione di e mediante una frazione continua regolare (Eulero), Rappresentazione di e mediante una frazione continua regolare (Eulero)

π

3.1415926536

Rappresentazione di π mediante una frazione continua regolare , Rappresentazione di π mediante una frazione continua regolare , Rappresentazione di π mediante una frazione continua regolare , Rappresentazione di π mediante una frazione continua regolare , Rappresentazione di π mediante una frazione continua regolare , Rappresentazione di π mediante una frazione continua regolare

Definendo due successioni di funzioni razionali come segue: f0(x) = x, g0(x) = 1, fn + 1(x) = fn(x) + gn(x), Formula per la definizione della successione di funzioni, si può poi definire una funzione Definizione della funzione f come limite della successione di funzioni. Vale allora f(1) = f(2) ≈ 0.8155726499 e la costante ha espansione in frazione continua semplice [ 2; 8, 1, 5, 5, 7, 2, 6, 4, 9, 8, 8, 9, 3, 7, 8, 4, 7, 7, 4, 5, 9, 5, 6, 7, 7, 6, 7, 6, 7, 3, 1, 6, 9, 3, 7, 6, 1, 1, 0, 8, 2, 0, 2, 7, 0, 7, 5, 7, 1, 1, 6, 6, 0, 1, 9, 9, 9, 3, 5, 7, 2, 5, 3, 2, 7, 2, 5, 1, 7, 4, 7, 0, 4, 7, 1, 8, 8, 6, 7, 1, 1, 0, 5, 5, 8, 9, 1, 5, 1, 2, 8, 1, 6, 0, 1, 7, 9, 9, 6, 8, 2, 5, 3, 2, … ].

 

Ramanujan fu il mago indiscusso delle frazioni continue, capace di sfornare a getto continuo esempi sorprendenti quali:

Rappresentazione di un integrale tramite frazione continua,

Rappresentazione di un integrale tramite frazione continua.

 

Ramanujan dimostrò come la frazione continua che porta il suo nome Frazione continua di Ramanujan possa essere espressa tramite uno sviluppo in serie di potenze di x e ne ricavò alcuni casi particolari stupefacenti, come le quattro frazioni continue di Rogers – Ramanujan, che legano e, φ e π:

Frazione continua di Rogers – Ramanujan,

Frazione continua di Rogers – Ramanujan,

Frazione continua di Rogers – Ramanujan,

Frazione continua di Rogers – Ramanujan.

 

Sempre al genio di Ramanujan dobbiamo la seguente stupenda formula: Formula di Ramanujan che coinvolge una frazione continua.

Né la serie infinita, né la frazione continua si possono esprimere (almeno per quanto ne sappiamo) tramite e o π, ma la loro somma, incredibilmente sì!

La frazione continua vale Valore della frazione continua.

Bibliografia

  • Backeljauw, Franky;  Cuyt, Anne;  "Algorithm 895: A Continued Fractions Package for Special Functions" in ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 36, n. 3, 2010.
  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Cantor, David G.;  Galyean, Paul H.;  Zimmer, Horst G.;  "A continued fraction algorithm for real algebraic numbers" in Mathematics of Computation, n. 26, 1972, pag. 785 – 791.
  • Clawson, Calvin C.;  Mathematical Mysteries, Basic Books, 1996.
  • Olds, C.D.;  Continued Fractions, New York, Random House, 1963 -

    Un classico sulle frazioni continue.

  • Perron, Oskar;  Die Lehre von den Kettenbrücken, Stuttgart, Teubner, vol I e II, 1954 -

    La Bibbia delle frazioni continue, almeno fino al momento in cui furono scritti.

  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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