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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Irrazionali quadratici espressi tramite frazioni continue
  3. 3. Rappresentazione di alcune costanti tramite frazioni continue
  4. 4. Funzioni espresse tramite frazioni continue
  5. 5. Costanti definite tramite frazioni continue

L’espressione di un irrazionale quadratico in frazione continua semplice è periodica e ricavabile con semplici algoritmi.

 

L’espansione di radici quadrate di un intero che non sia un quadrato ha la forma [ a0; a1, a2, ... ak – 1, ak, ak – 1, ... a2, a1, 2a0 ] o [ a0; a1, a2, ... ak – 1, ak, ak, ak – 1, ... a2, a1, 2a0 ] , ovvero il periodo inizia dal primo termine ed è formato da una sequenza di termini simmetrica (ossia col primo uguale all’ultimo, il secondo uguale al penultimo ecc.), seguita da un termine uguale al doppio di a0. Per esempio, Rappresentazione della radice quadrata di 19 come frazione continua semplice.

 

La parte simmetrica può mancare del tutto, riducendo il periodo a un solo termine, se l’intero è uguale a un quadrato più uno; per esempio, Rappresentazione della radice quadrata di 19 come frazione continua semplice.

 

La lunghezza del periodo varia in modo molto irregolare: il periodo di Rappresentazione della radice quadrata di 123 come frazione continua semplice ha lunghezza 2 e quello di Rappresentazione della radice quadrata di 124 come frazione continua semplice ha lunghezza 16.

 

Alcuni sviluppi possono essere ricavati senza eseguire calcoli; per esempio

  • Rappresentazione della radice quadrata di n^2 – 2 come frazione continua semplice;

  • Rappresentazione della radice quadrata di n^2 – 1 come frazione continua semplice;

  • Rappresentazione della radice quadrata di n^2 + 1 come frazione continua semplice;

  • Rappresentazione della radice quadrata di n^2 + 2 come frazione continua semplice;

  • Rappresentazione della radice quadrata di n^2 + n come frazione continua semplice.

 

L’espansione in frazione continua di numeri della forma Reciproco della radice quadrata di n si ricava anteponendo uno zero all’espansione di Radice quadrata di n. Per esempio, Rappresentazione della radice quadrata di 7 come frazione continua semplice e Rappresentazione del reciproco della radice quadrata di 7 come frazione continua semplice.

 

La tabella seguente mostra l’espansione in frazione continua semplice di alcuni irrazionali quadratici (The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Valore approssimato

Frazione continua per n

sqrt(3) / 2

0.8660254038

[ 0; 1, 6, 2 ]

sqrt(8) / 3

0.9428090416

[ 0; 1, 16, 2 ]

(1 + sqrt(2)) / 2

1.2071067812

[ 1; 4, 1 ]

(1 + sqrt(17)) / 4

1.2807764064

Rappresentazione di (1 + sqrt(17)) / 4 come frazione continua semplice

(φ + 1) / 2

1.3090169944

[ 1; 3, 4 ]

φ

1.6180339887

[ 1; 1 ]

1 + sqrt(2) (v. rapporto argenteo)

2.4142135624

[ 2; 2 ]

(7 + sqrt(13)) / 6

3.0887604324

Rappresentazione di (7 + sqrt(133)) / 6 come frazione continua semplice

(29 + sqrt(145)) / 12 (v. numeri sinuosi chiusi)

3.4201328816

[ 3; 2, 2, 1, 1, 1 ]

Radice quadrata di 200

14.1421356237

[ 14; 7, 28 ]

Radice quadrata di 300

17.3205080757

[ 17; 3, 8, 3, 34 ]

Radice quadrata di 500

22.3606797750

[ 22; 2, 1, 3, 2, 1, 1, 10, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 44 ]

Radice quadrata di 600

24.4948974278

[ 24; 2, 48 ]

Radice quadrata di 700

26.4575131106

[ 26; 2, 5, 2, 1, 1, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 1, 2, 5, 2, 52 ]

Radice quadrata di 800

28.2842712474

[ 28; 3, 1, 1, 13, 1, 1, 3, 56 ]

Radice quadrata di 1000

31.6227766017

[ 31; 1, 1, 1, 1, 1, 6, 2, 2, 15, 2, 2, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 62 ]

Radice quadrata di 1729 (v. numeri di Ramanujan)

41.5812457726

[ 41; 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 8, 1, 1, 27, 5, 6, 5, 27, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 82 ]

46 * sqrt(46)

311.9871792238

[ 311; 1, 76, 1, 622 ]

 

La tabella seguente riporta il minimo intero tale che l’espansione in frazione continua della sua radice quadrata abbia periodo di lunghezza data, per lunghezze sino a 20 (N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Lunghezza

Minimo intero

0

1

1

2

2

3

3

41

4

7

5

13

6

19

7

58

8

31

9

106

10

43

11

61

12

46

13

193

14

134

15

109

16

94

17

157

18

139

19

337

20

151

 

Alcune frazioni continue periodiche non semplici (perché i termini non sono interi positivi) sono comunque legate a radici quadrate. L’identità Formula per l'irrazionale quadratico uguale a una frazione continua periodica vale per w e z anche complessi. Per w = z abbiamo Formula per l'irrazionale quadratico uguale a una frazione continua periodica e in particolare:

  • [ φ; φ ] ≈ 2.0952939852 (v. rapporto meta-aureo),

  • [ e; e ] ≈ 3.0465246953,

  • [ π; π ] ≈ 3.4328922159.

 

Se il primo termine è zero, vale l’identità Formula per l'irrazionale quadratico uguale a una frazione continua periodica e in particolare:

  • [ 0; φ ] ≈ 0.4772599965,

  • [ 0; e ] ≈ 0.3282428669,

  • [ 0; π ] ≈ 0.2912995623.

 

Queste identità possono essere ricavate dalle seguenti, nelle quali pn e qn sono rispettivamente numeratore e denominatore della frazione ottenuta troncando l’espansione ai primi n termini: Formula per l'irrazionale quadratico uguale a una frazione continua periodica, Identità che coinvolge due frazioni continue periodiche.

Bibliografia

  • Backeljauw, Franky;  Cuyt, Anne;  "Algorithm 895: A Continued Fractions Package for Special Functions" in ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 36, n. 3, 2010.
  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Cantor, David G.;  Galyean, Paul H.;  Zimmer, Horst G.;  "A continued fraction algorithm for real algebraic numbers" in Mathematics of Computation, n. 26, 1972, pag. 785 – 791.
  • Clawson, Calvin C.;  Mathematical Mysteries, Basic Books, 1996.
  • Olds, C.D.;  Continued Fractions, New York, Random House, 1963 -

    Un classico sulle frazioni continue.

  • Perron, Oskar;  Die Lehre von den Kettenbrücken, Stuttgart, Teubner, vol I e II, 1954 -

    La Bibbia delle frazioni continue, almeno fino al momento in cui furono scritti.

  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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