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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Irrazionali quadratici espressi tramite frazioni continue
  3. 3. Rappresentazione di alcune costanti tramite frazioni continue
  4. 4. Funzioni espresse tramite frazioni continue
  5. 5. Costanti definite tramite frazioni continue

Si chiamano “frazioni continue” le frazioni della forma Forma generale di una frazione continua.

 

Il termine fu usato per la prima volta da John Wallis (23/11/1616 – 28/10/1703) in Arithmetica infinitorum (1653), ma furono studiate sin dall’antichità: nel 499 Āryabhaţa in Āryabhaţīya le utilizzò per la soluzione di equazioni diofantee.

 

Nel Rinascimento cominciarono a essere studiate e ultilizzate anche in Europa. Il pioniere fu Rafael Bombelli (battezzato il 20/1/1526 a Bologna – Roma, 1572), che mostrò come usarle per approssimare le soluzioni di equazioni di secondo grado.

 

Pietro Cataldi (Bologna, 15/4/1548 – Bologna, 11/2/1626) diede alcuni esempi di radici quadrate espresse tramite frazioni continue e introdusse la prima notazione specifica, rappresentando una frazione continua come Notazione di Cataldi per le frazioni continue. La sua notazione fu modificata dal matematico tedesco Alfred Pringsheim (2/11/1850 – 25/6/1941) come Notazione di Pringsheim per le frazioni continue, notazione dalla quale derivò quella moderna per le frazioni continue generiche: Notazione attuale per le frazioni continue.

 

Wallis fu il primo a mostrare esplicitamente come calcolare l’espressione in frazione continua di numeri reali e a dimostrare alcune proprietà delle frazioni continue.

 

Eulero nel 1748 mostrò come convertire certi sviluppi in serie infinite in frazioni continue.

 

Lagrange le utilizzò per trovare una soluzione generale delle equazioni di Pell, ossia delle equazioni diofantee quadratiche.

 

Nel 1813 Gauss mostrò come esprimere una vasta gamma di funzioni tramite frazioni continue.

 

Il grande matematico propose anche una notazione compatta, particolarmente comoda se i vari numeratori e denominatori possono essere espressi in modo semplice come funzioni dell’indice. La notazione di Gauss è simile a quella usata per le serie, con una K (dall’iniziale di Kettenbruch, ossia frazione continua, in tedesco) al posto della Σ, ma la proposta ebbe poco seguito.

 

Più recentemente furono usate per dimostrare che alcuni numeri sono trascendenti.

 

Nel 1972 David G. Cantor, Paul H. Galyean e Horst G. Zimmer pubblicarono un algoritmo per trovare la rappresentazione in frazione continua semplice delle radici di un’equazione polinomiale. L’algoritmo permette di trovare approssimazioni razionali arbitrariamente buone delle radici.

 

Si dice “ordine” il numero di termini an: se sono in numero finito la frazione continua si dice finita, infinita altrimenti.

 

Una frazione continua si dice “semplice” se i vari bn sono tutti 1 e i vari an sono tutti interi maggiori di zero, tranne a0, che può anche essere nullo o negativo, nel qual caso la frazione può essere rappresentata come [a0; a1, a2, a3, a4, ... ].

Una frazione continua semplice si dice “periodica” se, dopo una parte iniziale, i valori dei vari an si ripetono; in tal caso si scrive una linea orizzontale sopra i termini che si ripetono, esattamente come si fa con le cifre ripetute di un numero decimale periodico. Per esempio, [ 1; 2, 3, 4 ] = [1; 2, 3, 4, 3, 4, 3, 4, ...].

Alcuni Autori però chiamano “frazioni continue generalizzate” le frazioni continue non semplici e “frazioni continue” quelle semplici.

 

Data una successione di numeri complessi diversi da zero c1, c2, c3…, per qualsiasi frazione continua vale la relazione Identità valida per tutte le frazioni continue. Scegliendo i termini della sequenza come: c0 = 1, Formula per il calcolo dei vari c(n), ossia Formula per il calcolo dei c(n) con indice dispari e Formula per il calcolo dei c(n) con indice pari, ogni frazione continua si può trasformare in una frazione continua semplice.

 

Ogni numero razionale si può esprimere come frazione continua semplice finita; se conveniamo che l’ultimo valore di an non possa essere 1, tale rappresentazione è unica. Per esempio, Un terzo va scritto come [ 0; 3 ] e non come [ 0; 2, 1 ].

I numeri irrazionali possono essere espressi in un unico modo come frazioni continue semplici infinite; tali frazioni sono periodiche se e solo se il numero è irrazionale quadratico, ossia della forma Forma generale di un irrazionale quadratico, con m e n razionali.

Va notato che mentre il prodotto di due irrazionali quadratici è ancora un irrazionale quadratico, la somma di due irrazionali quadratici non sempre lo è e non ha necessariamente una rappresentazione come frazione continua periodica; per esempio, la rappresentazione di Radice quadrata di 2 più radice quadrata di 3 non è periodica.

 

Due numeri reali si dicono “equivalenti” se hanno lo sviluppo in frazione continua uguale da un certo termine in poi; due numeri reali x e y sono equivalenti se e solo se vale una relazione del tipo Relazione di Möbius (relazione di Möbius), con a, b, c e d interi.

 

Se i vari ai sono tutti uguali ad a e i vari bi tutti uguali a b , il valore della frazione è la radice positiva dell’equazione x2axb = 0, cioè Radice positiva dell'equazione, per a > 0 e a2 + 4b non negativo.

 

Se x è la radice quadrata di un intero n che non sia un quadrato, nella rappresentazione di x come frazione continua semplice i termini an sono minori di Due volte la radice quadrata di x.

 

Espandendo i primi n termini di una frazione continua semplice si ottiene una frazione della forma Frazione corrispondente all'espansione dei primi n termini; numeratori e denominatori soddisfano la relazione pnqn – 1pn – 1qn = (–1)n + 1, mentre i convergenti cn soddisfano le relazioni Relazione soddisfatta dai convergenti e Relazione soddisfatta dai convergenti.

Rappresentando un numero x come frazione continua semplice, i convergenti di indice pari c2n formano una sequenza crescente, che tende a x, mentre i convergenti di indice dispari c2n + 1 formano una sequenza decrescente, che tende sempre a x.

 

Per le approssimazioni valgono i limiti Limiti soddisfatti dalle approssimazioni; di conseguenza troncando una frazione continua dopo un certo numero di termini, si ottengono approssimazioni razionali, spesso ottime, degli irrazionali. Per esempio, l’approssimazione del secondo ordine Approssimazione del secondo ordine di π di π è corretta a meno di 10–7.

Le approssimazioni ottenute sono le migliori approssimazioni razionali possibili di un numero reale (anche razionale), nel senso che non esistono approssimazioni razionali migliori con denominatori minori.

In effetti, le frazioni continue sono spesso utilizzate per ottenere approssimazioni di costanti e funzioni.

 

Dato che per esprimere i numeri reali come frazioni continue semplici servono tutte le possibili combinazioni di an, sembrerebbe che se si pone un limite superiore al loro valore si possa rappresentare solo una parte minuscola di essi, e questo è vero, tuttavia chiamando R(k) l’insieme dei reali rappresentabili come frazioni continue semplici con an ≤ k, M. Hall dimostò che:

  • ogni reale può essere rappresentato come somma di due numeri in R(4);

  • ogni reale può essere rappresentato come prodotto di due numeri in R(4);

  • se x + y = 3 / 2 o xy = 4, allora o infiniti dei termini di x sono almeno 4, o lo stesso vale per y o infiniti termini di entrambi sono almeno 3.

 

In seguito altri hanno dimostrato che:

  • ogni reale può essere rappresentato come somma di quattro numeri in R(2);

  • ogni reale può essere rappresentato come somma di tre numeri in R(3);

  • ogni reale può essere rappresentato come somma di un numero in R(3) e uno in R(4);

  • ogni reale può essere rappresentato come somma di un numero in R(2) e uno in R(7);

  • ogni reale può essere rappresentato come somma di due numeri in R(2) e uno in R(4);

  • ogni reale può essere rappresentato come somma un numero in R(2) e due in R(3).

 

Per contro, esistono infiniti reali che non possono essere rappresentati nelle seguenti forme:

  • come somma di un numero in R(2) e uno in R(4);

  • come somma di due numeri in R(3);

  • come somma di due numeri in R(2) e uno in R(3).

 

Khinchin dimostrò che per quasi tutti i reali i termini dello sviluppo in frazione continua crescono senza limite (v. anche costante di Khinchin, seconda costante di Khinchin e costante di Levy). Tra le poche eccezioni, le costanti della forma Costanti nello sviluppo in frazione continua delle quali compaiono solo termini di 4 valori differenti, con n > 2, per le quali nello sviluppo in frazione continua compaiono solo i numeri 0, n – 2, n – 1, n e n + 2 (Jeffrey O. Shallit, 1979).

Āryabhaţa in Āryabhaţīya

Bibliografia

  • Backeljauw, Franky;  Cuyt, Anne;  "Algorithm 895: A Continued Fractions Package for Special Functions" in ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 36, n. 3, 2010.
  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Cantor, David G.;  Galyean, Paul H.;  Zimmer, Horst G.;  "A continued fraction algorithm for real algebraic numbers" in Mathematics of Computation, n. 26, 1972, pag. 785 – 791.
  • Clawson, Calvin C.;  Mathematical Mysteries, Basic Books, 1996.
  • Olds, C.D.;  Continued Fractions, New York, Random House, 1963 -

    Un classico sulle frazioni continue.

  • Perron, Oskar;  Die Lehre von den Kettenbrücken, Stuttgart, Teubner, vol I e II, 1954 -

    La Bibbia delle frazioni continue, almeno fino al momento in cui furono scritti.

  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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