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Kravitz (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Kravitz avanzò la congettura che σ(n) – 2n non è mai un quadrato dispari.

 

G.L. Cohen confutò la congettura, trovando il minimo controesempio, 550564.

I numeri del genere sono comunque molto rari; si conoscono solo 11 numeri tali che σ(n) – 2n = k2 con k dispari:

  • 550564, con k = 203 (G.L. Cohen);

  • 15038884, con k = 805;

  • 57365476, con k = 1505;

  • 197686728, con k = 11847 (D.S. McNeil, 2011);

  • 257859364, con k = 6461 (D.S. McNeil, 2011);

  • 1027291978962, con k = 413793 (Jack Brennen, 2011);

  • 4644774970276, con k = 407365 (Jack Brennen, 2011);

  • 319916794343524, con k = 4273031 (Jack Brennen, 2011);

  • 694453849937352, con k = 22229049 ((Jack Brennen e Charles R. Greathouse IV, 2011);

  • 97695446432293264, con k = 26611361 (Charles R. Greathouse IV, 2011);

  • 359108743507594276, con k = 114710435 (Charles R. Greathouse IV, 2011).

 

L’unico altro numero inferiore a 109 tale che σ(n) – 2n = km sia una potenza dispari è 288, con k = 3 e m = 5 (M. Fiorentini, 2014).

 

Esistono numeri naturali n per i quali σ(n) – 2n è l’opposto di un quadrato dispari, ossia numeri tali che σ(n) – 2n = –k2 con k dispari; oltre alle potenze di 2, per le quali k = 1, sono noti i seguenti casi:

  • 98, con k = 5;

  • 2116 con k = 19;

  • 4232 con k = 13;

  • 49928 con k = 71;

  • 80656 con k = 53;

  • 140450 con k = 121;

  • 729632 con k = 115;

  • 1667138 con k = 743;

  • 2666689 con k = 1583;

  • 8853632 con k = 43;

  • 9210632 con k = 197;

  • 12380288 con k = 131;

  • 37810208 con k = 1055;

  • 108103808 con k = 781 (D.S. McNeil, 2011);

  • 155725952 con k = 967 (D.S. McNeil, 2011);

  • 247397768 con k = 4261 (D.S. McNeil, 2011);

  • 327782408 con k = 4499 (D.S. McNeil, 2011);

  • 398353538 con k = 11807 (D.S. McNeil, 2011);

  • 544236032 con k = 85 (D.S. McNeil, 2011);

  • 775864832 con k = 505 (D.S. McNeil, 2011);

  • 956768768 con k = 685;

  • 5776835072 con k = 2801;

  • 18944311250 con k = 1523;

  • 20234684450 con k = 53207;

  • 22418473984 con k = 3509;

  • 49424937608 con k = 70349;

  • 58881934336 con k = 6479;

  • 67857645025 con k = 223309;

  • 88837975249 con k = 291205;

  • 136174148450 con k = 86351;

  • 219789804032 con k = 20201.

 

L’unico altro numero inferiore a 109 talw che σ(n) – 2n = –km sia una potenza dispari è 1369, con k = 11 e m = 3 (M. Fiorentini, 2014).

 

I numeri per i quali σ(n) – 2n = k2 o σ(n) – 2n = –k2; è un quadrato o una potenza pari sono invece relativamente frequenti (v. funzione σ).

Vedi anche

Funzione σ.

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