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Cartesio (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Cartesio” i numeri dispari “quasi” perfetti.

Più precisamente i numeri di Cartesio sono i numeri naturali dispari della forma mp, con m e p primi tra loro, tali che σ(mp) = σ(m)(p + 1) = 2mp; tali numeri sarebbero perfetti se p fosse primo.

 

Cartesio riteneva che potessero esistere numeri perfetti dispari; concentrò le sue ricerche su numeri della forma ps2, con p primo, perché convinto (correttamente) che tali dovrebbero essere i numeri perfetti dispari, se esistessero, e fece notare in una lettera a Mersenne del 15/11/1638 che con p = 22021 e s = 3003 = 3 • 7 • 11 • 13 si otterrebbe un numero perfetto dispari, se non fosse per la sfortunata circostanza che p = 192 • 61 non è primo.

 

L’esempio di Cartesio, 198585576189, è tuttora l’unico noto.

William D. Banks, Ahmet M. Gülo─člu, C. Wesley Nevans e Filip Saidak dimostrarono che:

  • quello trovato da Cartesio è l’unico esempio non multiplo di cubi e con meno di 7 fattori primi;

  • se esiste un numero di Cartesio n non multiplo di cubi e non multiplo di 3, n ha oltre un milione di fattori primi distinti e n = kσ(n), con k dispari e tale che σ(k) = 2k – 1 (vale a dire che k è perfetto aumentato).

 

Se si allarga la definizione ai numeri pari, definendo numeri di Cartesio i numeri naturali che sarebbero perfetti se uno o più dei fattori fossero primi, si conoscono numerosi esempi: quelli inferiori a 10000 sono: 60, 84, 90, 120, 336, 840, 924, 1008, 1080, 1260, 1320, 1440, 1680, 1980, 2016, 2160, 2184, 2520, 2772, 3024, 3420, 3600, 3780, 4680, 5040, 5940, 6048, 6552, 7440, 7560, 7800, 8190, 8280, 9240, 9828, 9900.

Qui trovate i numeri di Cartesio minori di 106 (Giovanni Resta, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

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