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Cartesio (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Cartesio” i numeri dispari “quasi” perfetti.

Più precisamente i numeri di Cartesio sono i numeri naturali dispari della forma mp, con m e p primi tra loro, tali che σ(mp) = σ(m)(p + 1) = 2mp; tali numeri sarebbero perfetti se p fosse primo.

 

Cartesio riteneva che potessero esistere numeri perfetti dispari; concentrò le sue ricerche su numeri della forma ps2, con p primo, perché convinto (correttamente) che tali dovrebbero essere i numeri perfetti dispari, se esistessero, e fece notare in una lettera a Mersenne del 15/11/1638 che con p = 22021 e s = 3003 = 3 • 7 • 11 • 13 si otterrebbe un numero perfetto dispari, se non fosse per la sfortunata circostanza che p = 192 • 61 non è primo.

 

William D. Banks, Ahmet M. Gülo─člu, C. Wesley Nevans e Filip Saidak dimostrarono che:

  • quello trovato da Cartesio è l’unico esempio non multiplo di cubi e con meno di 7 fattori primi;

  • se esiste un numero di Cartesio n non multiplo di cubi e non multiplo di 3, n ha oltre un milione di fattori primi distinti e n = kσ(n), con k dispari e tale che σ(k) = 2k – 1 (vale a dire che k è perfetto aumentato).

 

Nel 2003 John Voight trovò un’altro numero simile, ammettendo come fattore primo non un numero composto, ma un primo negativo: infatti, se si accetta σ(–127) = 1 – 127 = –126, per analogia con σ(127) = 1 + 127 = 128, allora −22017975903 = 34 • 72 • 112 • 192· (–127) è perfetto.

 

Accettando come primi 1, potenze di primi, primi negativi e ammettendo ripetizione di fattori, Pace P. Nielsen e Paul Jenkins trovarono altri esempi:

1 = 11;

11025 = 12 • (−3)2 • (−5)2 • 49;

−75411 = 12 • (−3)2 • (−3)2 • 72 • (−19);

101411037 = 32 • 72 • 72 • 13 • (−19)2;

2046592992717 = 12 • (−3)2 • (−3)2 • 74 • (−17)2 • 36413;

1304643375 = 12 • (−3)2 • (−5)2 • 72 • (−7)2 • (−2451);

−161407366659 = 34 • 72 • 72 • 112 • (−19) • (−19)2;

164593038369375 = 34 • 72 • 72 • (−19)2 • 252 • (−3751);

−20344426711875 = 12 • (−5)2 • (−5)2 • 72 • (−9)2 • (−9)2 • (−101251).

Tra i fattori compaiono i numeri composti 49 = 72, 36413 = 13 • 2801, 2451 = 3 • 19 • 43, 3751 = 112 • 31 e 101251 = 19 • 732.

La presenza di 1 tra i fattori si giustifica perché se lo si considera primo, come σ(p2) = p2 + p + 1, si può prendere σ(12) = 12 + 1 + 1 = 3. Non si ammettono potenze di 1 con esponenti superiori, perché proseguendo allo stesso modo avremmo che σ(1n) = n + 1 e ci sarebbe un’infinità di numeri di Cartesio banali.

I due matematici dimostrarono che i numeri di questo tipo con un numero fissato di fattori “primi” è finito, ma che complessivamente sono infiniti, perché a partire da uno di essi si può sostituire un fattore pn con i fattori pn + 1 e Somma delle potenze di p con esponenti da 1 a n + 1, con segno negativo, anche se il secondo è negativo e generalmente composto. Così per esempio partendo da 11 e applicando ripetutamente la sostituzione al massimo fattore si ottiene la famiglia infinita 1 = 11, –3 = 12 • (–3), –63 = 12 • (–3)2 • (–7), –3483 = 12 • (–3)2 • (–7)2 • (–43), –270632583 = 12 • (–3)2 • (–7)2 • (–43)2 • (–1807), …, nella quale il termine n-esimo è il quadrato del prodotto dei numeri di Sylvester da s1 a sn – 1, moltiplicato per sn.

L’elenco precedente non comprende i numeri generabili con questa sostituzione, che possiamo chiamare “primitivi”. I due matematici dimostrarono che i numeri di Cartesio dispari primitivi con un numero fissato di fattori “primi” è finito, mentre complessivamente sono infiniti, potendo applicare infinite volte la sostituzione mostrata.

Si può anche sostituire p4 con p2 • (–p2), e dato che la sostituzione precedente permette di aumentare l’esponente di qualsiasi fattore, si possono costruire infiniti numeri di Cartesio multipli di quarte potenze, per poi suddividere quel fattore in due parti.

 

Gli esempi di Cartesio e Voight restano gli unici con un solo fattore che non sia un primo positivo.

 

Se si allarga la definizione ai numeri pari, definendo “numeri di Cartesio” i numeri naturali che sarebbero perfetti se uno o più dei fattori fossero primi, si conoscono numerosi esempi; quelli inferiori a 10000 sono: 60, 84, 90, 120, 336, 840, 924, 1008, 1080, 1260, 1320, 1440, 1680, 1980, 2016, 2160, 2184, 2520, 2772, 3024, 3420, 3600, 3780, 4680, 5040, 5940, 6048, 6552, 7440, 7560, 7800, 8190, 8280, 9240, 9828, 9900.

Qui trovate i numeri di Cartesio minori di 106 (Giovanni Resta, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

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