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Lösch (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Lösch”, dal nome di Anthon Lösch (Öhringen, Germania, 15/10/1906 – Ratzeburg, Germania, 30/5/1945), i numeri naturali che sono la norma degli interi di Eisenstein.

Si possono esprimere come x2 + xy + y2, con x e y interi non negativi, o come xy + yz + xz = x2 + y2 + z2xy + yz + xz = (xy)(xz) + (yx)(yz) + (zx)(zy), con x, y e z interi e x + y + z = 0.

 

I numeri di Lösch minori di 1000 sono: 0, 1, 3, 4, 7, 9, 12, 13, 16, 19, 21, 25, 27, 28, 31, 36, 37, 39, 43, 48, 49, 52, 57, 61, 63, 64, 67, 73, 75, 76, 79, 81, 84, 91, 93, 97, 100, 103, 108, 109, 111, 112, 117, 121, 124, 127, 129, 133, 139, 144, 147, 148, 151, 156, 157, 163, 169, 171, 172, 175, 181, 183, 189, 192, 193, 196, 199, 201, 208, 211, 217, 219, 223, 225, 228, 229, 237, 241, 243, 244, 247, 252, 256, 259, 268, 271, 273, 277, 279, 283, 289, 291, 292, 300, 301, 304, 307, 309, 313, 316, 324, 325, 327, 331, 333, 336, 337, 343, 349, 351, 361, 363, 364, 367, 372, 373, 379, 381, 387, 388, 397, 399, 400, 403, 409, 412, 417, 421, 427, 432, 433, 436, 439, 441, 444, 448, 453, 457, 463, 468, 469, 471, 475, 481, 484, 487, 489, 496, 499, 507, 508, 511, 513, 516, 523, 525, 529, 532, 541, 543, 547, 549, 553, 556, 559, 567, 571, 576, 577, 579, 588, 589, 592, 597, 601, 603, 604, 607, 613, 619, 624, 625, 628, 631, 633, 637, 643, 651, 652, 657, 661, 669, 673, 675, 676, 679, 684, 687, 688, 691, 700, 703, 709, 711, 721, 723, 724, 727, 729, 732, 733, 739, 741, 751, 756, 757, 763, 768, 769, 772, 775, 777, 784, 787, 793, 796, 804, 811, 813, 817, 819, 823, 829, 831, 832, 837, 841, 844, 847, 849, 853, 859, 867, 868, 871, 873, 876, 877, 883, 889, 892, 900, 903, 907, 912, 916, 919, 921, 925, 927, 931, 937, 939, 948, 949, 961, 964, 967, 972, 973, 975, 976, 981, 988, 991, 993, 997, 999.

Qui trovate i numeri di Lösch inferiori a 10000 (T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

La loro scomposizione in fattori primi ha la forma Forma generale dei numeri di Lösch, con a uguale a 0 o 1 e i vari pk primi della forma 3n + 2. In altri termini, i primi della forma 3n + 2 possono comparire nella scomposizione dei numeri di Lösch solo elevati a potenze con esponente pari; di conseguenza prodotti e potenze di numeri di Lösch sono numeri di Lösch.

 

I numeri di Lösch primi sono 3 e i primi della forma 6n + 1.

 

Un numero di Lösch può essere espresso in due o più modi distinti come x2 + xy + y2 se e solo è multiplo di almeno due primi distinti della forma 6k + 1; per esempio, 91 = 7 • 13 = 92 + 9 • 1 + 12 = 62 + 6 • 5 + 52. I quadrati dei primi della forma 6k + 1 possono essere espressi in due modi, ma in uno di essi y è zero; per esempio, 49 = 72 = 52 + 5 • 3 + 32 =

I numeri esprimibili in due o più modi distinti come x2 + xy + y2 inferiori a 1000 sono: 49, 91, 133, 147, 169, 196, 217, 247, 259, 273, 301, 343, 361, 364, 399, 403, 427, 441, 469, 481, 507, 511, 532, 553, 559, 588, 589, 637, 651, 676, 679, 703, 721, 741, 763, 777, 784, 793, 817, 819, 868, 871, 889, 903, 931, 949, 961, 973, 988.

Qui trovate i numeri esprimibili in due o più modi distinti come x2 + xy + y2 inferiori a 105 (Reinhard Zumkeller, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Vedi anche

Interi di Eisenstein.

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