Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Si chiamano “numeri di Springer” i numeri naturali Sn definiti tramite la funzione generatrice esponenziale Formula per la definizione dei numeri di Springer. Prendono il nome da T.A. Springer, che ne studiò alcune proprietà nel 1971, anche se J.W.L Glaisher li aveva già esaminati nel 1998 e nel 1914.

Sono anche chiamati “numeri di Eulero generalizzati”.

 

V.I. Arnol’d, dimostrò nel 1992 che Sn è il numero di permutazioni degli interi da 1 a n nelle quali si può dare un segno negativo ad alcuni interi (in qualsiasi combinazione) e ogni numero è alternativamente maggiore o minore del precedente, col primo numero positivo.

Per esempio, le permutazioni del genere degli interi fino a 3 sono 11:

  • 2, 1, 3;

  • 3, 1, 2;

  • 1, –3, 2;

  • 2, –3, 1;

  • 1, –2, 3;

  • 3, –2, 1;

  • 1, –3, –2;

  • 2, –1, 3;

  • 3, –1, 2;

  • 2, –3, –1

  • 3, –2, –1;

 

Consideriamo i cammini che iniziano nell’origine e sono costituiti da passi in diagonale verso destra, della forma (1, 1) o (1, –1), che non scendano mai al di sotto della retta y = 0; William Y.C. Chen, Neil J.Y. Fan e Jeffrey Y.T. Jia dimostrarono nel 2010 che Sn è uguale al numero di modi di etichettare i passi di un cammino del genere di lunghezza n con numeri naturali, in modo tale che l’etichetta di ogni passo non sia superiore alla minima coordinata y dei suoi estremi.

Per esempio, esistono 3 cammini del genere di 3 passi, che possono essere etichettati in 11 modi, come mostra il diagramma seguente.

Raffigurazione dei cammini etichettati formati da 3 passi

Se il cammino è composto di 2n passi e termina al livello di partenza, il numero di cammini etichettati è il valore assoluto del numero di Eulero E2n.

 

I numeri di Springer possono essere calcolati con le formule:

Formula per il calcolo dei numeri di Springer;

Formula per il calcolo dei numeri di Springer.

 

Sn è il numeratore di Formula per il calcolo dei numeri di Springer, dove En è l’n-esimo polinomio di Eulero, ovvero Formula per il calcolo dei numeri di Springer.

 

Definendo la sequenza di polinomi S0(x) = 1, Sn + 1(x) = xSn(x – 1) + (x + 1)Sn(x + 1), vale Sn = Sn(0).

 

Alcune proprietà:

Sn tende a Limite asintotico cui tende S(n) o equivalentemente a Limite asintotico cui tende S(n);

Sp ≡ 1 mod p, se p è un primo della forma 4k + 1;

Sp ≡ –1 mod p, se p è un primo della forma 4k + 3.

 

Nel 2012 Zhi-Wei Sun propose due congetture sui numeri di Springer:

  • Formula che coinvolge i numeri di Springer è strettamente crescente;

  • Formula che coinvolge i numeri di Springer è strettamente decrescente.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Springer fino a S20.

n

Sn

0

1

1

1

2

3

3

11

4

57

5

361

6

2763

7

24611

8

250737

9

2873041

10

36581523

11

512343611

12

7828053417

13

129570724921

14

2309644635483

15

44110959165011

16

898621108880097

17

19450718635716001

18

445777636063460643

19

10784052561125704811

20

274613643571568682777

 

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.