Cerca fra gli articoli

Cubi

Indice

Esistono infinite sequenze di cubi consecutivi, la cui somma sia un quadrato.

La somma di tutti i cubi consecutivi iniziando da 1 è sempre un quadrato di un numero triangolare, perché Formula per la rappresentazione di un quadrato come somma di cubi consecutivi ; inoltre in infiniti casi il numero triangolare è un quadrato e la somma è quindi un biquadrato. Dato però che nessun numero triangolare è una potenza con esponente maggiore di 2, nessuna somma di cubi consecutivi a partire da 1 è una potenza con esponente maggiore di 2.

L’identità Formula per la rappresentazione di un quadrato come somma di cubi consecutivi permette di trovare infinite sequenze di cubi consecutivi maggiori di 1 la cui somma è un quadrato, ma non tutte (M. Fiorentini, 2020).

La tabella seguente riporta tutte le somme di cubi consecutivi maggiori di 1 e non maggiori di 10¹² uguali a quadrati (M. Fiorentini, 2019).

Primo cubo	Ultimo cubo	Somma
9³	25³	104329 = 323²
14³	25³	97344 = 312²
14³	34³	345744 = 588²
21³	148³	121528576 = 11024²
23³	25³	41616 = 204²
25³	29³	99225 = 315²
25³	39³	518400 = 720²
25³	122³	56205009 = 7497²
28³	35³	254016 = 504²
33³	65³	4322241 = 2079²
49³	339³	3319833924 = 57618²
64³	105³	26904969 = 5187²
64³	111³	34574400 = 5880²
69³	100³	19998784 = 4472²
78³	182³	268304400 = 16380²
81³	108³	24147396 = 4914²
81³	149³	114383025 = 10695²
81³	724³	68869504900 = 262430²
88³	290³	1765764441 = 42021²
96³	100³	4708900 = 2170²
97³	194³	336098889 = 18333²
105³	168³	171714816 = 13104²
111³	149³	87609600 = 9360²
118³	122³	8643600 = 2940²
118³	177³	200505600 = 14160²
120³	136³	35808256 = 5984²
120³	841³	125308212121 = 353989²
121³	1325³	771665618025 = 878445²
133³	164³	106007616 = 10296²
144³	156³	43956900 = 6630²
144³	164³	77053284 = 8778²
144³	220³	484968484 = 22022²
144³	225³	540423009 = 23247²
144³	318³	2466612225 = 49665²
144³	389³	5647973409 = 75153²
153³	170³	76055841 = 8721²
153³	457³	10817040025 = 104005²
165³	451³	10205848576 = 101024²
168³	410³	6902120241 = 83079²
169³	2190³	5755695204609 = 2399103²
176³	220³	353816100 = 18810²
176³	370³	4473603225 = 66885²
189³	611³	34640654400 = 186120²
216³	313³	1875669481 = 43309²
216³	999³	248961081600 = 498960²
217³	279³	976437504 = 31248²
217³	458³	10499076225 = 102465²
217³	650³	44214734529 = 210273²
221³	1156³	446630236416 = 668304²
225³	259³	498628900 = 22330²
225³	504³	15560067600 = 124740²
225³	3367³	32148582480784 = 5669972²
232³	318³	1854594225 = 43065²
232³	406³	6108204025 = 78155²
256³	424³	7052640400 = 83980²
256³	591³	29537234496 = 171864²
256³	1445³	1090405850625 = 1044225²
265³	318³	1349019441 = 36729²
265³	2473³	9356875327801 = 3058901²
289³	4904³	144648440352144 = 12026988²
295³	370³	2830240000 = 53200²
298³	857³	133210400400 = 364980²
333³	339³	265559616 = 16296²
357³	1156³	443183118400 = 665720²
361³	6849³	550265331330225 = 23457735²
385³	560³	19209960000 = 138600²
391³	1325³	765905025600 = 875160²
396³	1299³	706810118400 = 840720²
400³	493³	8460136441 = 91979²
400³	518³	11700965241 = 108171²
400³	875³	140512522500 = 374850²
410³	457³	3922266384 = 62628²
417³	555³	16282270404 = 127602²
433³	1299³	704179435716 = 839154²
441³	9250³	1830621686635225 = 42785765²
477³	900³	151501549824 = 389232²
496³	527³	4286582784 = 65472²
529³	12155³	5457952678249764 = 73877958²
553³	790³	74326571641 = 272629²
553³	942³	173976581025 = 417105²
585³	1313³	714970022481 = 845559²
585³	2040³	4304795040000 = 2074800²
585³	3650³	44367388983225 = 6660885²
603³	842³	93012800400 = 304980²
609³	760³	49349733904 = 222148²
616³	1066³	287552265121 = 536239²
616³	1189³	464612640625 = 681625²
625³	15612³	14853496612506084 = 121874922²
664³	2074³	4581684597169 = 2140487²
666³	797³	52088019984 = 228228²
672³	840³	73933960464 = 271908²
672³	2804³	15414591004164 = 3926142²
680³	697³	5875682409 = 76653²
697³	28585³	166925631329400889 = 408565333²
705³	4624³	114278665614400 = 10690120²
716³	724³	3359361600 = 57960²
729³	19669³	37420748658691489 = 193444433²
745³	842³	49149559809 = 221697²
760³	857³	51982632009 = 227997²
760³	2185³	5620337025625 = 2370725²
769³	3075³	22279551694884 = 4720122²
770³	1537³	1309358409984 = 1144272²
777³	951³	114027782400 = 337680²
792³	1130³	310223378529 = 556977²
792³	1320³	662023067904 = 813648²
833³	952³	85696707600 = 292740²
833³	2275³	6582580447716 = 2565654²
837³	899³	41254484544 = 203112²
841³	24374³	88243404864147225 = 297057915²
900³	1156³	283560510016 = 532504²
903³	2365³	7661801856016 = 2767996²
928³	1095³	175061907216 = 418404²
945³	1475³	985989420900 = 992970²
961³	29775³	196505988636801600 = 443289960²
979³	2669³	12466605132864 = 3530808²
988³	3515³	37946881290816 = 6160104²

Esistono infiniti cubi esprimibili come somma di cubi consecutivi. Una formula che genera infiniti casi è Formula per la rappresentazione di un cubo come somma di cubi consecutivi , per n non multiplo di 3 (C. Pagliani, 1830).

I cubi che possono essere espressi come somma di un numero fissato di cubi consecutivi sono in numero finito.

Nessun cubo è esprimibile come somma di due cubi, consecutivi o meno (Eulero).

L’unico cubo esprimibile come somma di tre cubi consecutivi è 6³ = 3³ + 4³ + 5³.

Il minimo cubo esprimibile come somma di quattro cubi consecutivi è 20³ = 11³ + 12³ + 13³ + 14³.

Il minimo cubo esprimibile come somma di 20 cubi consecutivi è 40³, somma dei cubi da 3³ a 22³; il successivo è 70³, somma dei cubi da 15³ a 34³.

Il minimo cubo esprimibile come somma di cubi consecutivi in due modi differenti è 2856³, somma dei cubi da 213³ a 555³ e dei cubi da 273³ a 560³.

La tabella seguente riporta tutte le somme di cubi consecutivi fino a 10¹² uguali a cubi (M. Fiorentini, 2019).

Primo cubo	Ultimo cubo	Somma
3³	5³	216 = 6³
3³	22³	64000 = 40³
6³	30³	216000 = 60³
6³	69³	5832000 = 180³
11³	14³	8000 = 20³
11³	109³	35937000 = 330³
15³	34³	343000 = 70³
34³	158³	157464000 = 540³
213³	365³	3951805941 = 1581³
213³	555³	23295638016 = 2856³
273³	560³	23295638016 = 2856³
291³	339³	1540798875 = 1155³
305³	6895³	565199024832000 = 82680³
406³	917³	170400029184 = 5544³
556³	654³	22069810125 = 2805³
646³	798³	58230605376 = 3876³
1134³	2133³	4767078987000 = 16830³
1624³	15784³	15517248640897024 = 249424³
1735³	3065³	19814511816000 = 27060³
3010³	16932³	20530084655612259 = 273819³
3606³	5802³	241152896222784 = 62244³
4880³	54655³	2230734605277528000 = 1306620³
4966³	7709³	731189187729000 = 90090³
8790³	12885³	5399901725184000 = 175440³
11170³	74170³	7562082718537768000 = 1962820³
11368³	16280³	13389040129314816 = 237456³
18171³	25029³	70865430394968000 = 413820³
18551³	51674³	1752959215109375000 = 1205750³
22534³	30533³	152838610998696000 = 534660³
33558³	44205³	637623759116775816 = 860706³
34228³	36076³	80368770541638592 = 431548³
40381³	52547³	1241409566336822784 = 1074744³
46690³	71890³	5489685226091143000 = 1764070³
57084³	72708³	4332341335608000000 = 1630200³
67150³	84725³	7799498750905875000 = 1983150³
91206³	113157³	23690447651368661184 = 2872044³
105406³	129794³	40092286447837512000 = 3422580³
106455³	116654³	14189536955846673000 = 2420970³
138705³	168495³	108974250530721792000 = 4776480³
158038³	190805³	175414369695309398016 = 5597856³
202686³	241989³	435366121423649031000 = 7579110³
228259³	271133³	672400957973226552000 = 8760780³
266785³	288240³	459245536003728648000 = 7715220³
267903³	287122³	411264776171540179000 = 7436590³
286578³	337230³	1547113150197173601216 = 11565756³
319606³	374477³	2307814569924377219784 = 13214994³
394134³	458133³	4980341799750927168000 = 17077320³
407526³	584349³	22254078322077836625000 = 28127850³
418489³	769719³	80086755898090819551744 = 43104264³
435940³	504860³	7212370230145168704000 = 19320840³
529431³	608937³	14732510947975454001984 = 24514644³
581446³	666629³	20797374128993010648000 = 27500220³
696870³	794205³	40506873745942110753000 = 34343370³
760633³	864455³	55924647783118944546816 = 38241456³

Non si conoscono somme di cubi consecutivi uguali a una potenza con esponente maggiore di 4; se esistono, almeno un addendo è maggiore di 10¹⁸ (M. Fiorentini, 2019).

Tabelle numeriche

Cubi degli interi sino a 10000 (1.2 Mb),
I minimi interi esprimibili come somma di 3 cubi non nulli in esattamente n modi,
Le somme di cubi consecutivi maggiori di 1 e non maggiori di 10¹² uguali a quadrati.

Vedi anche

Biquadrati, Numeri cubi centrati, Numeri di Ramanujan, Numeri figurati, Numeri platonici, Potenze, Quadrati.

Bibliografia

De Koninck, Jean-Marie; Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -
Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.
Guy, Richard K.; Unsolved Problems in Number Theory, New York, Springer-Verlag, II ediz., 1994.
Ribenboim, Paulo; Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
Roberts, Joe; The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -
Una miniera di informazioni sugli interi.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.

← Cubatura della sfera (problema della) Cubi centrati (numeri) →