Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Sequenze di interi consecutivi multipli di cubi
  3. 3. Rappresentazione di interi come somma di cubi
  4. 4. Rappresentazione di potenze come somma di cubi consecutivi
  5. 5. ProprietĂ  basate sulle cifre

Esistono infinite sequenze di cubi consecutivi, la cui somma sia un quadrato.

La somma di tutti i cubi consecutivi iniziando da 1 è sempre un quadrato di un numero triangolare, perché Formula per la rappresentazione di un quadrato come somma di cubi consecutivi; inoltre in infiniti casi il numero triangolare è un quadrato e la somma è quindi un biquadrato. Dato però che nessun numero triangolare è una potenza con esponente maggiore di 2, nessuna somma di cubi consecutivi a partire da 1 è una potenza con esponente maggiore di 2.

 

L’identità Formula per la rappresentazione di un quadrato come somma di cubi consecutivi permette di trovare infinite sequenze di cubi consecutivi maggiori di 1 la cui somma è un quadrato, ma non tutte (M. Fiorentini, 2020).

 

La tabella seguente riporta tutte le somme di cubi consecutivi maggiori di 1 e non maggiori di 1012 uguali a quadrati (M. Fiorentini, 2019).

Primo cubo

Ultimo cubo

Somma

93

253

104329 = 3232

143

253

97344 = 3122

143

343

345744 = 5882

213

1483

121528576 = 110242

233

253

41616 = 2042

253

293

99225 = 3152

253

393

518400 = 7202

253

1223

56205009 = 74972

283

353

254016 = 5042

333

653

4322241 = 20792

493

3393

3319833924 = 576182

643

1053

26904969 = 51872

643

1113

34574400 = 58802

693

1003

19998784 = 44722

783

1823

268304400 = 163802

813

1083

24147396 = 49142

813

1493

114383025 = 106952

813

7243

68869504900 = 2624302

883

2903

1765764441 = 420212

963

1003

4708900 = 21702

973

1943

336098889 = 183332

1053

1683

171714816 = 131042

1113

1493

87609600 = 93602

1183

1223

8643600 = 29402

1183

1773

200505600 = 141602

1203

1363

35808256 = 59842

1203

8413

125308212121 = 3539892

1213

13253

771665618025 = 8784452

1333

1643

106007616 = 102962

1443

1563

43956900 = 66302

1443

1643

77053284 = 87782

1443

2203

484968484 = 220222

1443

2253

540423009 = 232472

1443

3183

2466612225 = 496652

1443

3893

5647973409 = 751532

1533

1703

76055841 = 87212

1533

4573

10817040025 = 1040052

1653

4513

10205848576 = 1010242

1683

4103

6902120241 = 830792

1693

21903

5755695204609 = 23991032

1763

2203

353816100 = 188102

1763

3703

4473603225 = 668852

1893

6113

34640654400 = 1861202

2163

3133

1875669481 = 433092

2163

9993

248961081600 = 4989602

2173

2793

976437504 = 312482

2173

4583

10499076225 = 1024652

2173

6503

44214734529 = 2102732

2213

11563

446630236416 = 6683042

2253

2593

498628900 = 223302

2253

5043

15560067600 = 1247402

2253

33673

32148582480784 = 56699722

2323

3183

1854594225 = 430652

2323

4063

6108204025 = 781552

2563

4243

7052640400 = 839802

2563

5913

29537234496 = 1718642

2563

14453

1090405850625 = 10442252

2653

3183

1349019441 = 367292

2653

24733

9356875327801 = 30589012

2893

49043

144648440352144 = 120269882

2953

3703

2830240000 = 532002

2983

8573

133210400400 = 3649802

3333

3393

265559616 = 162962

3573

11563

443183118400 = 6657202

3613

68493

550265331330225 = 234577352

3853

5603

19209960000 = 1386002

3913

13253

765905025600 = 8751602

3963

12993

706810118400 = 8407202

4003

4933

8460136441 = 919792

4003

5183

11700965241 = 1081712

4003

8753

140512522500 = 3748502

4103

4573

3922266384 = 626282

4173

5553

16282270404 = 1276022

4333

12993

704179435716 = 8391542

4413

92503

1830621686635225 = 427857652

4773

9003

151501549824 = 3892322

4963

5273

4286582784 = 654722

5293

121553

5457952678249764 = 738779582

5533

7903

74326571641 = 2726292

5533

9423

173976581025 = 4171052

5853

13133

714970022481 = 8455592

5853

20403

4304795040000 = 20748002

5853

36503

44367388983225 = 66608852

6033

8423

93012800400 = 3049802

6093

7603

49349733904 = 2221482

6163

10663

287552265121 = 5362392

6163

11893

464612640625 = 6816252

6253

156123

14853496612506084 = 1218749222

6643

20743

4581684597169 = 21404872

6663

7973

52088019984 = 2282282

6723

8403

73933960464 = 2719082

6723

28043

15414591004164 = 39261422

6803

6973

5875682409 = 766532

6973

285853

166925631329400889 = 4085653332

7053

46243

114278665614400 = 106901202

7163

7243

3359361600 = 579602

7293

196693

37420748658691489 = 1934444332

7453

8423

49149559809 = 2216972

7603

8573

51982632009 = 2279972

7603

21853

5620337025625 = 23707252

7693

30753

22279551694884 = 47201222

7703

15373

1309358409984 = 11442722

7773

9513

114027782400 = 3376802

7923

11303

310223378529 = 5569772

7923

13203

662023067904 = 8136482

8333

9523

85696707600 = 2927402

8333

22753

6582580447716 = 25656542

8373

8993

41254484544 = 2031122

8413

243743

88243404864147225 = 2970579152

9003

11563

283560510016 = 5325042

9033

23653

7661801856016 = 27679962

9283

10953

175061907216 = 4184042

9453

14753

985989420900 = 9929702

9613

297753

196505988636801600 = 4432899602

9793

26693

12466605132864 = 35308082

9883

35153

37946881290816 = 61601042

 

Esistono infiniti cubi esprimibili come somma di cubi consecutivi. Una formula che genera infiniti casi è Formula per la rappresentazione di un cubo come somma di cubi consecutivi, per n non multiplo di 3 (C. Pagliani, 1830).

I cubi che possono essere espressi come somma di un numero fissato di cubi consecutivi sono in numero finito.

Nessun cubo è esprimibile come somma di due cubi, consecutivi o meno (Eulero).

L’unico cubo esprimibile come somma di tre cubi consecutivi è 63 = 33 + 43 + 53.

Il minimo cubo esprimibile come somma di quattro cubi consecutivi è 203 = 113 + 123 + 133 + 143.

Il minimo cubo esprimibile come somma di 20 cubi consecutivi è 403, somma dei cubi da 33 a 223; il successivo è 703, somma dei cubi da 153 a 343.

Il minimo cubo esprimibile come somma di cubi consecutivi in due modi differenti è 28563, somma dei cubi da 2133 a 5553 e dei cubi da 2733 a 5603.

 

La tabella seguente riporta tutte le somme di cubi consecutivi fino a 1012 uguali a cubi (M. Fiorentini, 2019).

Primo cubo

Ultimo cubo

Somma

33

53

216 = 63

33

223

64000 = 403

63

303

216000 = 603

63

693

5832000 = 1803

113

143

8000 = 203

113

1093

35937000 = 3303

153

343

343000 = 703

343

1583

157464000 = 5403

2133

3653

3951805941 = 15813

2133

5553

23295638016 = 28563

2733

5603

23295638016 = 28563

2913

3393

1540798875 = 11553

3053

68953

565199024832000 = 826803

4063

9173

170400029184 = 55443

5563

6543

22069810125 = 28053

6463

7983

58230605376 = 38763

11343

21333

4767078987000 = 168303

16243

157843

15517248640897024 = 2494243

17353

30653

19814511816000 = 270603

30103

169323

20530084655612259 = 2738193

36063

58023

241152896222784 = 622443

48803

546553

2230734605277528000 = 13066203

49663

77093

731189187729000 = 900903

87903

128853

5399901725184000 = 1754403

111703

741703

7562082718537768000 = 19628203

113683

162803

13389040129314816 = 2374563

181713

250293

70865430394968000 = 4138203

185513

516743

1752959215109375000 = 12057503

225343

305333

152838610998696000 = 5346603

335583

442053

637623759116775816 = 8607063

342283

360763

80368770541638592 = 4315483

403813

525473

1241409566336822784 = 10747443

466903

718903

5489685226091143000 = 17640703

570843

727083

4332341335608000000 = 16302003

671503

847253

7799498750905875000 = 19831503

912063

1131573

23690447651368661184 = 28720443

1054063

1297943

40092286447837512000 = 34225803

1064553

1166543

14189536955846673000 = 24209703

1387053

1684953

108974250530721792000 = 47764803

1580383

1908053

175414369695309398016 = 55978563

2026863

2419893

435366121423649031000 = 75791103

2282593

2711333

672400957973226552000 = 87607803

2667853

2882403

459245536003728648000 = 77152203

2679033

2871223

411264776171540179000 = 74365903

2865783

3372303

1547113150197173601216 = 115657563

3196063

3744773

2307814569924377219784 = 132149943

3941343

4581333

4980341799750927168000 = 170773203

4075263

5843493

22254078322077836625000 = 281278503

4184893

7697193

80086755898090819551744 = 431042643

4359403

5048603

7212370230145168704000 = 193208403

5294313

6089373

14732510947975454001984 = 245146443

5814463

6666293

20797374128993010648000 = 275002203

6968703

7942053

40506873745942110753000 = 343433703

7606333

8644553

55924647783118944546816 = 382414563

 

Non si conoscono somme di cubi consecutivi uguali a una potenza con esponente maggiore di 4; se esistono, almeno un addendo è maggiore di 1018 (M. Fiorentini, 2019).

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Guy, Richard K.;  Unsolved Problems in Number Theory, New York, Springer-Verlag, II ediz., 1994.
  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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