Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Sequenze di interi consecutivi multipli di cubi
  3. 3. Rappresentazione di interi come somma di cubi
  4. 4. ProprietĂ  basate sulle cifre

Ogni intero positivo può essere espresso come somma di al massimo 9 cubi, come supposto da Sir Jonathan Frederick Pollock nel 1851 (v. congetture di Pollock) e dimostrato da Josef Alwin Wieferich nel 1908, con un piccolo errore, corretto A.J. Kempner nel 1912.

 

Per interi grandi ne bastano meno: E. Landau dimostrò nel 1911 che ne bastano 8 e Yu. V. Linnik nel 1943 ridusse il numero a 7 per interi abbastanza grandi. Jean-Marc Deshouillers, Francois Hennecart e Bernard Landreau dimostrarono nel 2000 che 7 bastano per i numeri minori di di e78.7 ≈ 1.5099957529 • 1034; Olivier Ramaré dimostrò nel 2006 che 7 bastano per i numeri maggiori di e524 ≈ 3.7179925679 • 10227; infine nel 2009 Baklan e Elkies dimostrarono che 7 bastano per tutti gli interi maggiori di 454.

Potrebbero bastarne sempre di meno, forse addirittura 4; si ritiene che vi siano 113936676 numeri non rappresentabili come somma di 4 cubi, il massimo dei quali è 7373170279850 (Jean-Marc Deshouillers, Francois Hennecart, Bernard Landreau, 2000).

Sembrano esserci 4060 interi non rappresentabili come somma di 5 cubi, il massimo dei quali è 1290740; se ve ne sono altri, sono superiori a 1016 (Jean-Marc Deshouillers, Francois Hennecart, Bernard Landreau, 2000).

Qui trovate gli interi minori di 109 che richiedono più di 5 addendi, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari.

 

Gli unici interi che richiedono 9 addendi sono 23 = 2 • 8 + 7 • 1 e 239 = 125 + 3 • 27 + 4 • 8 + 1 = 2 • 64 + 4 • 27 + 3 • 1 (Dickson, 1939); gli unici che ne richiedono 8 sono: 15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428 e 454. In particolare 167 è l’unico numero primo che richieda 8 cubi.

Ne richiedono 7: 7, 14, 21, 42, 47, 49, 61, 77, 85, 87, 103, 106, 111, 112, 113, 122, 140, 148, 159, 166, 174, 178, 185, 204, 211, 223, 229, 230, 237, 276, 292, 295, 300, 302, 311, 327, 329, 337, 340, 356, 363, 390, 393, 401, 412, 419, 427, 438, 446, 453, 465, 491, 510, 518, 553, 616, 634, 635, 644, 670, 671, 679, 735, 787, 806, 833, 850, 852, 894, 913, 950, 958, 976, 1021, 1122, 1148, 1174, 1175, 1210, 1236, 1239, 1300, 1337, 1452, 1453, 1454, 1489, 1580, 1634, 1671, 1679, 1697, 1912, 1938, 1957, 1965, 2039, 2110, 2166, 2183, 2299, 2426, 2660, 3020, 3172, 3452, 3659, 3685, 3964, 4306, 4369, 4388, 4703, 4775, 4882, 4982, 5279, 5305, 5306, 5818, 8042 e molto probabilmente nessun altro.

Ne richiedono 6 3922 numeri (che trovate qui), il massimo dei quali è 1290740, e probabilmente nessun altro.

 

Quattro cubi sono sicuramente necessari; in particolare gli interi della forma 7n ± 3 non possono essere rappresentati con due soli cubi e quelli della forma 9n ± 4 non possono essere rappresentati con tre soli cubi. Probabilmente vi sono 113936676 interi non rappresentabili come somma di 4 cubi, il massimo dei quali è 75377772852 (Jean-Marc Deshouillers, Francois Hennecart, Bernard Landreau, 2000).

 

Ogni intero abbastanza grande può essere espresso come somma di 9 cubi di numeri primi (v. potenze).

Ogni intero positivo può essere espresso come somma di cubi di numeri primi, tranne 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 52, 53, 55, 57, 58, 60, 61, 63, 65, 66, 68, 69, 71, 73, 74, 76, 77, 79, 82, 84, 85, 87, 90, 92, 93, 95, 98, 100, 101, 103, 106, 109, 111, 114, 117, 119, 122, 127, 130, 138, 146, 154.

 

Gli interi che non possono essere rappresentati come somma di cubi differenti sono in tutto 2788, da 2 a 12758 (R.L. Graham 1964).

 

Se si accettano anche cubi di interi negativi, ovvero si ammette la sottrazione, bastano meno addendi.

Una rappresentazione come somma di 5 cubi si ottiene molto facilmente per qualsiasi intero n: per cominciare, n3n è un multiplo di 6, quindi n = n3 – 6m; a sua volta 6m = (m + 1)3 + (m – 1)3m3m3, quindi n = n3 – (m + 1)3 – (m – 1)3 + m3 + m3, dove Formula per m.

 

Per i numeri della forma 9n ± 4 è stato dimostrato che 4 cubi sono necessari, ma non è escluso che ne bastino 4.

Per i numeri che non sono della forma 9n ± 4 è stato dimostrato che ne bastano 4, ma non è escluso che ne bastino 3; rappresentazioni del genere sono infatti state trovate per quasi tutti gli interi.

 

Le seguenti identità (Demjanenko 1966) coprono tutti i casi, salvo i numeri della forma 9n ± 4 e 108n ± 38:

  • 6n = (n + 1)3 + (n – 1)3n3n3;

  • 6n + 3 = (2n – 5)3 + n3 – (n – 4)3 – (2n – 4)3;

  • 18n + 1 = (2n + 14)3 + (3n + 30)3 – (2n + 23)3 – (3n + 26)3;

  • 18n + 7 = (n + 2)3 + (6n – 1)3 + (8n – 2)3 – (9n – 2)3;

  • 18n + 8 = (n – 5)3 + (3n – 30)3 – (n – 14)3 – (3n – 29)3;

  • 54n + 2 = (29484n2 + 2211n + 43)3 + (9828n2 + 485n + 4)3 – (29484n2 + 2157n + 41)3 – (9828n2 + 971n + 22)3;

  • 54n + 20 = (3n – 11)3 + (n + 2)3 – (3n – 10)3 – (n – 7)3;

  • 216n – 16 = (14742n2 – 2157n + 82)3 + (4914n2 – 971n + 44)3 – (14742n2 – 2211n + 86)3 – (4914n2 – 485n + 8)3;

  • 216n + 92 = (3n – 164)3 + (n – 35)3 – (3n – 160)3 – (n – 71)3.

 

Gli unici interi non della forma 9n ± 4 inferiori a 1000, per i quali non si conosca una rappresentazione come somma o differenza di 3 cubi sono: 33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 e 975.

La ricerca non è semplice, anche con l’aiuto di calcolatori, perché non esiste limite ai candidati da esaminare come termini delle somme; per esempio, Andrew Brenner trovò nel 1993 la minima rappresentazione per 75: 75 = 4352030833 – 4352032313 + 43811593, mentre la minima rappresentazione per 195 è 22380062773 – 50874721633 + 52779229153.

Mahler dimostrò che 1 può essere rappresentato come somma di tre cubi, anche negativi, in infiniti modi.

 

Nel 2015 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che ogni numero naturale sia rappresentabile come Somma di un cubo più i massimi interi non superiori a tre cubi divisi per 2, 3 e 4 e come Somma di un cubo più i massimi interi non superiori a tre cubi divisi per 2, 4 e 8 (v. congetture di Zhi-Wei Sun sulla rappresentazione dei numeri naturali come somme).

 

 

Ogni intero può essere espresso come somma di cubi di tre numeri razionali, infatti Formula per la rappresentazione di un intero come somma dei cubi di tre numeri razionali; Mahler dimostrò che esistono inifinite rappresentazioni di 1 come di cubi di tre numeri razionali.

 

Alcuni interi possono essere rappresentati come somma di due cubi di razionali, nel qual caso esistono infinite rappresentazioni. Nel caso di 9 la soluzione minima è 13 + 83, la successiva è Rappresentazione di 9 come somma dei cubi di due numeri razionali (H.E. Dudeney).

Legendre credette d’aver dimostrato che non esistono rappresentazioni del genere per 6, ma Dudeney trovò la soluzione, relativamente semplice, Rappresentazione di 6 come somma dei cubi di due numeri razionali.

 

Ogni intero può essere espresso come somma di cubi di numeri primi diversi, tranne 483370 eccezioni, la massima delle quali è 1866000.

 

Una congettura ritenuta probabilmente vera è che ogni intero pari abbastanza grande si possa esprimere come somma di 4 cubi di primi. Per ora J. Liu e M.C. Liu hanno dimostrato che ogni intero pari abbastanza grande può essere rappresentato come somma di 8 cubi di primi dispari e di al massimo k potenze di 2, con k costante, ma ancora ignota.

 

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di due cubi in due modi diversi è 1729 = 13 + 123 = 93 + 103.

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di due cubi in tre modi diversi è 87539319 = 1673 + 4363 = 2283 + 4233 = 2553 + 4143 (John Leech, 1957).

Per ogni valore di n, esistono infiniti interi rappresentabili come somma di due cubi in n modi diversi (v. numeri di Ramanujan (I)).

 

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di tre cubi in due modi diversi è 251 = 13 + 53 + 53 = 23 + 33 + 63.

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di tre cubi diversi in due modi diversi è 1009 = 103 + 23 + 13 = 243 + 93 + 63.

Il minimo primo che possa essere espresso come somma di tre cubi di primi in due modi diversi è 185527 = 193 + 313 + 533 = 133 + 433 + 473.

Il minimo primo che possa essere espresso come somma di tre cubi di primi in tre modi diversi è 8627527 = 193 + 1513 + 1733 = 233 + 1393 + 1813 = 713 + 733 + 1993.

 

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di quattro cubi in due modi diversi, senza addendi comuni alle due somme, è 2366 = 13 + 53 + 83 + 123 = 23 + 33 + 103 + 113.

 

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di sei cubi in due modi diversi, senza addendi comuni alle due somme, è 3042 = 13 + 23 + 43 + 83 + 93 + 123 = 33 + 53 + 63 + 73 + 103 + 113.

 

Il minimo intero noto che possa essere espresso come somma o differenza di due cubi in due modi diversi è 91 = 33 + 43 = 63 – 53.

Il minimo intero noto che possa essere espresso come somma o differenza di tre cubi in tre modi diversi è 439 = 2644883 + 3315743 – 3801933 = 23224043 – 8694183 – 22810573 = 4029063 – 2114023 – 3824893.

 

Il minimo intero che possa essere espresso come differenza di cubi di primi in due modi diversi è 62540982 = 3973 – 313 = 18673 – 18613 (C. Boyer).

Il minimo intero che possa essere espresso come somma o differenza di cubi di primi in due modi diversi è 105161238 = 1933 + 4613 = 7093 – 6313 (C. Boyer).

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di cubi di primi in due modi diversi è 6058655748 = 613 + 18233 = 10493 + 16993.

 

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di 2 o 3 cubi non nulli è 344: 344 = 73 + 13 = 63 + 43 + 43.

Il minimo intero che possa essere espresso come somma di 3 o 4 cubi non nulli è 81: 81 = 33 + 33 + 33 = 43 + 23 + 23 + 13. Basta aggiungere una o più unità per ottenere il minimo intero che possa essere espresso come somma di n o n + 1 cubi non nulli per n > 3; per esempio, 82 = 33 + 33 + 33 + 13 = 43 + 23 + 23 + 13 + 13.

 

I numeri naturali non rappresentabili come somma di cubi maggiori di 1 sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 52, 53, 55, 57, 58, 60, 61, 63, 65, 66, 68, 69, 71, 73, 74, 76, 77, 79, 82, 84, 85, 87, 90, 92, 93, 95, 98, 100, 101, 103, 106, 109, 111, 114, 117, 119, 122, 127, 130, 138, 146, 154.

Se si utilizzano multipli di cubi maggiori di 1, tutti gli interi tranne gli 83 sopra elencati sono rappresentabili con due addendi. In altri termini, tranne queste eccezioni, tutti gli interi si possono rappresentare come am3 + bn3, con k, m e n maggiori di 1.

 

Un intero positivo n è rappresentabile come somma di due cubi di interi se e solo se valgono le seguenti condizioni (Kevin A. Broughan, 2003):

  • esiste un divisore m di n tale che Condizione che deve essere soddisfatta da m;

  • esiste un intero positivo k tale che m^2 – n / m = 2 * k;

  • m2 – 4k è un quadrato.

In questo caso n = x3 + y3, con Formula per x e Formula per y.

Per esempio, per n = 91 possiamo prendere m = 7, ottenendo x = 4 e y = 3 e 91 = 43 + 33.

 

Un intero positivo n non è rappresentabile come differenza di due cubi di interi se n ≡ 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32, 33, 38, 39, 40, 41, 42, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 57, 58, 59, 60 mod 63 (Kevin A. Broughan, 2003).

 

Un intero positivo n è rappresentabile come differenza di due cubi di interi se e solo se valgono le seguenti condizioni (Kevin A. Broughan, 2003):

  • esiste un divisore m di n tale che Condizione che deve essere soddisfatta da m;

  • esiste un intero positivo k tale che m^2 – n / m = 2 * k;

  • m2 + 4k è un quadrato.

In questo caso n = x3y3, con Formula per x e Formula per y.

Per esempio, per n = 98 possiamo prendere m = 2, ottenendo x = 5 e y = 3 e 98 = 53 – 33.

 

Esistono infiniti quadrati esprimibili come somma di due cubi. Eulero diede nel 1756 per l’equazione x3 + y3 = z2 la soluzione: x = a(3a2 + 6aa), y = a(–3a2 + 6a + a), z = 6a2(3a2 + 1), per a razionale.

In seguitò trovò le seguenti due soluzioni:

  • x = 4ab(3a2 – 3ab + b2), y = (ab)(3ab)(3a2 + b2), z = (3a2b2)(9a4 – 18a3b + 18a2b2 – 6ab3 + b4);

  • x = 3a4 + 6a2b2b4, y = –3a4 + 6a2b2 + b4, z = 6ab(3a4 + b4).

Il vantaggio di queste due soluzioni è di poter generare tutte le soluzioni con x e y primi tra loro per valori interi di a e b.

 

Gli interi positivi inferiori a 106 i quadrati dei quali sono esprimibili come somma di due cubi primi tra loro sono:

  • 32 = 13 + 23,

  • 2282 = 113 + 373,

  • 6712 = 563 + 653,

  • 12612 = 573 + 1123,

  • 63712 = 2173 + 3123,

  • 97652 = 2423 + 4333,

  • 351132 = 3053 + 10643,

  • 359282 = 8513 + 8773,

  • 403802 = 233 + 11773,

  • 416432 = 1223 + 12013,

  • 665992 = 5923 + 16173,

  • 1122452 = 17063 + 19693,

  • 1245012 = 13763 + 23453,

  • 1274992 = 10013 + 24803,

  • 1671602 = 22573 + 25433,

  • 1917712 = 19603 + 30813,

  • 2054852 = 1933 + 34823,

  • 2557202 = 7813 + 40193,

  • 2970372 = 8893 + 44403,

  • 3775672 = 17293 + 51603,

  • 5323922 = 30713 + 63373,

  • 5460132 = 29203 + 64893,

  • 6475692 = 58963 + 59853,

  • 6812852 = 13463 + 77293,

  • 8123402 = 21373 + 86633,

  • 8976232 = 21843 + 92653.

 

Il minimo quadrato esprimibile come somma di 2 cubi in due modi diversi è 779762 = 2283 + 18243 = 10263 + 17103.

 

Non esiste alcuna potenza con esponente maggiore di 2 che sia esprimibile come somma di 2 cubi primi tra loro (F. Beukers, 1998, v. congettura di Beal).

 

Esistono infiniti cubi rappresentabili come somma di tre cubi; l’equazione x3 + y3 + z3 = t3 venne infatti risolta già da Eulero; la soluzione generale è:

  • x = k(1 – (a – 3b)(a2 + 3b2)),

  • y = k((a + 3b)(a2 + 3b2) – 1),

  • z = k((a2 + 3b2)2 – (a + 3b)),

  • t = k((a2 + 3b2)2 – (a – 3b)).

Altre due soluzioni parametriche complete sono espresse dalle seguenti formule:

  • x = k((2a2 + b2)cb3 + ab2 – 2a2ba3 – (a + b)c2);

  • y = k((2a2 + b2)c + ab2 – 2a2b + a3 + c3 – (a + b)c2);

  • z = k((a + b)c2 – (2a2 + b2)c + 2ab2a2b + 2a3c3),

  • t = k((2ab)c2 – (a2b2)cb3 + ab2 – 2a2b + 2a3);

oppure:

  • x = k((a + bc)3 – 4a2b – 4b3 – 12bc2 – 8c3);

  • y = k((–abc)3 + 4a2b + 4b3 + 12bc2 – 8c3),

  • z = k((–a + b + c)3 – 4a2b – 4b3 – 12bc2 + 8c3),

  • t = k((–a + b - c)3 – 4a2b – 4b3 – 12bc2 – 8c3).

Srinivasa Aiyangar Ramanujan (Erode, India, 22/12/1887 – Kumbakonam, India, 26/4/1920) trovò formule più semplici, anche se non forniscono tutte le possibili soluzioni:

  • x = k(3a2 + 5ab – 5b2),

  • y = k(4a2 – 4ab + 6b2),

  • z = k(5a2 – 5ab – 3b2),

  • t = k(6a2 – 4ab + 4b2).

Altre possibilità ancora più semplici sono offerte dalle formule:

  • x = kb(a3 + b3), y = ka(a3 – 2b3), z = kb(2a3b3), t = ka(a3 + b3) (Francois Vieta, 1591);

  • x = ka(a3b3), y = kb(a3b3), z = kb(2a3 + b3), t = ka(a3 +2b3);

  • x = k(a9 – 36), y = k(–a9 + 35a3 + 36), z = k(33a6 + 35a3), t = k(32a7 + 34a4 + 36a);

  • x = k(2a – 1)(2a3 – 6a2 – 1), y = k(a + 1)(5a3 – 9a2 +3a – 1), z = 3ka(a + 1)(a2a + 1), t = 3ka(2a – 1)(a2a + 1).

In tutte queste formule i vari parametri possono essere numeri razionali qualsiasi, anche negativi; vanno però scelti in modo che x, y, z e t siano positivi. Se i valori ottenuti non sono interi, basta moltiplicare k per il minimo comune multiplo dei denominatori e ricalcolarli.

 

Gli interi positivi inferiori a 100 i cubi dei quali sono esprimibili come somma di tre cubi, non tutti multipli di un intero maggiore di 1, sono:

  • 63 = 33 + 43 + 53,

  • 93 = 13 + 63 + 83,

  • 193 = 33 + 103 + 183,

  • 203 = 73 + 143 + 173,

  • 253 = 43 + 173 + 223,

  • 283 = 183 + 193 + 213,

  • 293 = 113 + 153 + 273,

  • 413 = 23 + 173 + 403 = 63 + 323 + 333,

  • 443 = 163 + 233 + 413,

  • 463 = 33 + 363 + 373 = 273 + 303 + 373,

  • 533 = 293 + 343 + 443,

  • 543 = 123 + 193 + 533,

  • 583 = 153 + 423 + 493,

  • 673 = 223 + 513 + 543,

  • 693 = 363 + 383 + 613,

  • 703 = 73 + 543 + 573,

  • 713 = 143 + 233 + 703,

  • 723 = 343 + 393 + 653,

  • 753 = 383 + 433 + 663,

  • 763 = 313 + 333 + 723,

  • 813 = 253 + 483 + 743,

  • 823 = 193 + 603 + 693,

  • 843 = 283 + 533 + 753,

  • 853 = 503 + 613 + 643,

  • 873 = 203 + 543 + 793 = 263 + 553 + 783 = 383 + 483 + 793,

  • 883 = 213 + 433 + 843 = 253 + 313 + 863,

  • 893 = 173 + 403 + 863,

  • 903 = 253 + 383 + 873 = 583 + 593 + 693,

  • 933 = 323 + 543 + 853,

  • 963 = 193 + 533 + 903,

  • 973 = 453 + 693 + 793.

Qui trovate gli interi positivi inferiori a 10000 i cubi dei quali sono esprimibili come somma di 3 cubi, non tutti multipli di un intero maggiore di 1.

 

Esistono cubi rappresentabili come somma di 3 cubi in un numero grande a piacere di modi diversi; in particolare, moltiplicando tra loro n cubi rappresentabili come somma di 3 cubi, si ottiene un cubo rappresentabile come somma di 3 cubi in almeno n modi.

La tabella seguente riporta i minimi cubi rappresentabili come somma di 3 cubi in n modi diversi, per n fino a 20.

n

Minimo cubo esprimibile come somma di 3 cubi in almeno n modi

Minimo cubo esprimibile come somma di 3 cubi in esattamente n modi

1

63 = 33 + 43 + 53

63 = 33 + 43 + 53

2

183 = 23 + 123 + 163 = 93 + 123 + 153

183 = 23 + 123 + 163 = 93 + 123 + 153

3

543 = 63 + 363 + 483 = 123 + 193 + 533 = 273 + 363 + 453

543 = 63 + 363 + 483 = 123 + 193 + 533 = 273 + 363 + 453

4

873 = 203 + 543 + 793 = 263 + 553 + 783 = 333 + 453 + 813 = 383 + 483 + 793

873 = 203 + 543 + 793 = 263 + 553 + 783 = 333 + 453 + 813 = 383 + 483 + 793

5

1083 = 123 + 723 + 963 = 133 + 513 + 1043 = 153 + 823 + 893 = 243 + 383 + 1063 = 543 + 723 + 903

1083 = 123 + 723 + 963 = 133 + 513 + 1043 = 153 + 823 + 893 = 243 + 383 + 1063 = 543 + 723 + 903

6

1743 = 403 + 1083 + 1583 = 453 + 1263 + 1473 = 473 + 973 + 1623 = 523 + 1103 + 1563 = 663 + 903 + 1623 = 763 + 963 + 1583 = 873 + 1163 + 1453

2163 = 243 + 1443 + 1923 = 263 + 1023 + 2083 = 303 + 1643 + 1783 = 483 + 763 + 2123 = 1023 + 1173 + 1953 = 1083 + 1443 + 1803

7

1743 = 403 + 1083 + 1583 = 453 + 1263 + 1473 = 473 + 973 + 1623 = 523 + 1103 + 1563 = 663 + 903 + 1623 = 763 + 963 + 1583 = 873 + 1163 + 1453

1743 = 403 + 1083 + 1583 = 453 + 1263 + 1473 = 473 + 973 + 1623 = 523 + 1103 + 1563 = 663 + 903 + 1623 = 763 + 963 + 1583 = 873 + 1163 + 1453

8

3243 = 363 + 2163 + 2883 = 393 + 1533 + 3123 = 413 + 1143 + 3193 = 453 + 2463 + 2673 = 723 + 1143 + 3183 = 1003 + 1923 + 2963 = 1023 + 2273 + 2773 = 1183 + 1863 + 2963 = 1623 + 2163 + 2703 = 1733 + 2143 + 2673

3483 = 693 + 2583 + 2913 = 803 + 2163 + 3163 = 903 + 2523 + 2943 = 943 + 1943 + 3243 = 1043 + 2203 + 3123 = 1323 + 1803 + 3243 = 1523 + 1923 + 3163 = 1743 + 2323 + 2903

9

3243 = 363 + 2163 + 2883 = 393 + 1533 + 3123 = 413 + 1143 + 3193 = 453 + 2463 + 2673 = 723 + 1143 + 3183 = 1003 + 1923 + 2963 = 1023 + 2273 + 2773 = 1183 + 1863 + 2963 = 1623 + 2163 + 2703 = 1733 + 2143 + 2673

3963 = 153 + 2283 + 3693 = 243 + 1973 + 3793 = 443 + 2643 + 3523 = 543 + 923 + 3943 = 943 + 1493 + 3873 = 1443 + 2073 + 3693 = 1463 + 2703 + 3403 = 1983 + 2643 + 3303 = 2403 + 2713 + 3053

10

3243 = 363 + 2163 + 2883 = 393 + 1533 + 3123 = 413 + 1143 + 3193 = 453 + 2463 + 2673 = 723 + 1143 + 3183 = 1003 + 1923 + 2963 = 1023 + 2273 + 2773 = 1183 + 1863 + 2963 = 1623 + 2163 + 2703 = 1733 + 2143 + 2673

3243 = 363 + 2163 + 2883 = 393 + 1533 + 3123 = 413 + 1143 + 3193 = 453 + 2463 + 2673 = 723 + 1143 + 3183 = 1003 + 1923 + 2963 = 1023 + 2273 + 2773 = 1183 + 1863 + 2963 = 1623 + 2163 + 2703 = 1733 + 2143 + 2673

11

4923 = 243 + 2043 + 4803 = 483 + 853 + 4913 = 723 + 3843 + 3963 = 1133 + 2643 + 4633 = 1143 + 3603 + 4143 = 1493 + 3363 + 4273 = 1763 + 2043 + 4723 = 1903 + 2793 + 4493 = 2073 + 2973 + 4383 = 2263 + 3323 + 4143 = 2433 + 3583 + 3893 = 2463 + 3283 + 4103 = 2813 + 3223 + 3993

6963 = 1383 + 5163 + 5823 = 1413 + 1643 + 6913 = 1603 + 4323 + 6323 = 1803 + 5043 + 5883 = 1883 + 3883 + 6483 = 2083 + 4403 + 6243 = 2553 + 3213 + 6603 = 2643 + 3603 + 6483 = 3043 + 3843 + 6323 = 3483 + 4643 + 5803 = 3593 + 3693 + 6223

12

4923 = 243 + 2043 + 4803 = 483 + 853 + 4913 = 723 + 3843 + 3963 = 1133 + 2643 + 4633 = 1143 + 3603 + 4143 = 1493 + 3363 + 4273 = 1763 + 2043 + 4723 = 1903 + 2793 + 4493 = 2073 + 2973 + 4383 = 2263 + 3323 + 4143 = 2433 + 3583 + 3893 = 2463 + 3283 + 4103 = 2813 + 3223 + 3993

8643 = 63 + 4263 + 8283 = 153 + 6143 + 7453 = 963 + 5763 + 7683 = 1043 + 4083 + 8323 = 1203 + 6563 + 7123 = 1713 + 4773 + 8103 = 1923 + 3043 + 8483 = 2133 + 5313 + 7863 = 4083 + 4683 + 7803 = 4263 + 6463 + 6683 = 4323 + 5763 + 7203 = 4383 + 5383 + 7403

13

4923 = 243 + 2043 + 4803 = 483 + 853 + 4913 = 723 + 3843 + 3963 = 1133 + 2643 + 4633 = 1143 + 3603 + 4143 = 1493 + 3363 + 4273 = 1763 + 2043 + 4723 = 1903 + 2793 + 4493 = 2073 + 2973 + 4383 = 2263 + 3323 + 4143 = 2433 + 3583 + 3893 = 2463 + 3283 + 4103 = 2813 + 3223 + 3993

4923 = 243 + 2043 + 4803 = 483 + 853 + 4913 = 723 + 3843 + 3963 = 1133 + 2643 + 4633 = 1143 + 3603 + 4143 = 1493 + 3363 + 4273 = 1763 + 2043 + 4723 = 1903 + 2793 + 4493 = 2073 + 2973 + 4383 = 2263 + 3323 + 4143 = 2433 + 3583 + 3893 = 2463 + 3283 + 4103 = 2813 + 3223 + 3993

14

9843 = 483 + 4083 + 9603 = 963 + 1703 + 9823 = 1443 + 7683 + 7923 = 1653 + 6803 + 8593 = 2263 + 5283 + 9263 = 2283 + 7203 + 8283 = 2813 + 5913 + 8983 = 2983 + 6723 + 8543 = 3523 + 4083 + 9443 = 3803 + 5583 + 8983 = 4143 + 5943 + 8763 = 4523 + 6643 + 8283 = 4863 + 7163 + 7783 = 4923 + 6563 + 8203 = 5623 + 6443 + 7983

10803 = 813 + 4953 + 10443 = 923 + 3943 + 10623 = 923 + 4083 + 10603 = 993 + 7763 + 9253 = 1203 + 7203 + 9603 = 1303 + 5103 + 10403 = 1503 + 8203 + 8903 = 2403 + 3803 + 10603 = 2613 + 8033 + 8983 = 3003 + 4563 + 10443 = 3783 + 7563 + 9183 = 5103 + 5853 + 9753 = 5403 + 7203 + 9003 = 6963 + 7083 + 8283

15

9843 = 483 + 4083 + 9603 = 963 + 1703 + 9823 = 1443 + 7683 + 7923 = 1653 + 6803 + 8593 = 2263 + 5283 + 9263 = 2283 + 7203 + 8283 = 2813 + 5913 + 8983 = 2983 + 6723 + 8543 = 3523 + 4083 + 9443 = 3803 + 5583 + 8983 = 4143 + 5943 + 8763 = 4523 + 6643 + 8283 = 4863 + 7163 + 7783 = 4923 + 6563 + 8203 = 5623 + 6443 + 7983

9843 = 483 + 4083 + 9603 = 963 + 1703 + 9823 = 1443 + 7683 + 7923 = 1653 + 6803 + 8593 = 2263 + 5283 + 9263 = 2283 + 7203 + 8283 = 2813 + 5913 + 8983 = 2983 + 6723 + 8543 = 3523 + 4083 + 9443 = 3803 + 5583 + 8983 = 4143 + 5943 + 8763 = 4523 + 6643 + 8283 = 4863 + 7163 + 7783 = 4923 + 6563 + 8203 = 5623 + 6443 + 7983

16

12963 = 93 + 6393 + 12423 = 223 + 9863 + 10683 = 823 + 5753 + 12573 = 1443 + 8643 + 11523 = 1563 + 6123 + 12483 = 1643 + 4563 + 12763 = 1803 + 9843 + 10683 = 2883 + 4563 + 12723 = 3043 + 10103 + 10383 = 4003 + 7683 + 11843 = 4083 + 9083 + 11083 = 4723 + 7443 + 11843 = 4843 + 6393 + 12173 = 6123 + 7023 + 11703 = 6393 + 9693 + 10023 = 6483 + 8643 + 10803 = 6573 + 8073 + 11103 = 6923 + 8563 + 10683

17283 = 123 + 8523 + 16563 = 303 + 12283 + 14903 = 1923 + 11523 + 15363 = 2083 + 8163 + 16643 = 2403 + 13123 + 14243 = 2693 + 5503 + 17073 = 3063 + 11073 + 15573 = 3423 + 9543 + 16203 = 3843 + 6083 + 16963 = 4263 + 4773 + 17073 = 4263 + 10623 + 15723 = 7973 + 8593 + 15903 = 8163 + 9363 + 15603 = 8523 + 12923 + 13363 = 8643 + 11523 + 14403 = 8763 + 10763 + 14803

17

12963 = 93 + 6393 + 12423 = 223 + 9863 + 10683 = 823 + 5753 + 12573 = 1443 + 8643 + 11523 = 1563 + 6123 + 12483 = 1643 + 4563 + 12763 = 1803 + 9843 + 10683 = 2883 + 4563 + 12723 = 3043 + 10103 + 10383 = 4003 + 7683 + 11843 = 4083 + 9083 + 11083 = 4723 + 7443 + 11843 = 4843 + 6393 + 12173 = 6123 + 7023 + 11703 = 6393 + 9693 + 10023 = 6483 + 8643 + 10803 = 6573 + 8073 + 11103 = 6923 + 8563 + 10683

15843 = 113 + 7813 + 15183 = 603 + 9123 + 14763 = 873 + 10263 + 14253 = 963 + 7883 + 15163 = 1023 + 9223 + 14723 = 1253 + 3873 + 15763 = 1763 + 10563 + 14083 = 2163 + 3683 + 15763 = 2253 + 8283 + 15033 = 3763 + 5963 + 15483 = 3783 + 7743 + 15123 = 4503 + 5583 + 15483 = 5763 + 8283 + 14763 = 5843 + 10803 + 13603 = 7483 + 8583 + 14303 = 7923 + 10563 + 13203 = 9603 + 10843 + 12203

18

12963 = 93 + 6393 + 12423 = 223 + 9863 + 10683 = 823 + 5753 + 12573 = 1443 + 8643 + 11523 = 1563 + 6123 + 12483 = 1643 + 4563 + 12763 = 1803 + 9843 + 10683 = 2883 + 4563 + 12723 = 3043 + 10103 + 10383 = 4003 + 7683 + 11843 = 4083 + 9083 + 11083 = 4723 + 7443 + 11843 = 4843 + 6393 + 12173 = 6123 + 7023 + 11703 = 6393 + 9693 + 10023 = 6483 + 8643 + 10803 = 6573 + 8073 + 11103 = 6923 + 8563 + 10683

12963 = 93 + 6393 + 12423 = 223 + 9863 + 10683 = 823 + 5753 + 12573 = 1443 + 8643 + 11523 = 1563 + 6123 + 12483 = 1643 + 4563 + 12763 = 1803 + 9843 + 10683 = 2883 + 4563 + 12723 = 3043 + 10103 + 10383 = 4003 + 7683 + 11843 = 4083 + 9083 + 11083 = 4723 + 7443 + 11843 = 4843 + 6393 + 12173 = 6123 + 7023 + 11703 = 6393 + 9693 + 10023 = 6483 + 8643 + 10803 = 6573 + 8073 + 11103 = 6923 + 8563 + 10683

19

14403 = 103 + 7103 + 13803 = 513 + 9223 + 13013 = 1023 + 9413 + 12913 = 1073 + 10183 + 12453 = 1083 + 6603 + 13923 = 1533 + 6963 + 13833 = 1603 + 9603 + 12803 = 1673 + 7693 + 13623 = 2853 + 7953 + 13503 = 3553 + 8853 + 13103 = 4003 + 6083 + 13923 = 4173 + 9273 + 12843 = 5043 + 10083 + 12243 = 5103 + 10963 + 11543 = 5583 + 5633 + 13813 = 6213 + 11073 + 11163 = 6803 + 7803 + 13003 = 6993 + 8373 + 12723 = 7203 + 9603 + 12003 = 9283 + 9443 + 11043

21603 = 153 + 10653 + 20703 = 1623 + 9903 + 20883 = 1843 + 7883 + 21243 = 1843 + 8163 + 21203 = 1983 + 15523 + 18503 = 2403 + 14403 + 19203 = 2603 + 10203 + 20803 = 3003 + 16403 + 17803 = 4803 + 7603 + 21203 = 5223 + 16063 + 17963 = 6003 + 9123 + 20883 = 7563 + 15123 + 18363 = 7653 + 16443 + 17313 = 10203 + 11703 + 19503 = 10653 + 16153 + 16703 = 10803 + 14403 + 18003 = 10953 + 13453 + 18503 = 11863 + 13833 + 17933 = 13923 + 14163 + 16563

20

14403 = 103 + 7103 + 13803 = 513 + 9223 + 13013 = 1023 + 9413 + 12913 = 1073 + 10183 + 12453 = 1083 + 6603 + 13923 = 1533 + 6963 + 13833 = 1603 + 9603 + 12803 = 1673 + 7693 + 13623 = 2853 + 7953 + 13503 = 3553 + 8853 + 13103 = 4003 + 6083 + 13923 = 4173 + 9273 + 12843 = 5043 + 10083 + 12243 = 5103 + 10963 + 11543 = 5583 + 5633 + 13813 = 6213 + 11073 + 11163 = 6803 + 7803 + 13003 = 6993 + 8373 + 12723 = 7203 + 9603 + 12003 = 9283 + 9443 + 11043

14403 = 103 + 7103 + 13803 = 513 + 9223 + 13013 = 1023 + 9413 + 12913 = 1073 + 10183 + 12453 = 1083 + 6603 + 13923 = 1533 + 6963 + 13833 = 1603 + 9603 + 12803 = 1673 + 7693 + 13623 = 2853 + 7953 + 13503 = 3553 + 8853 + 13103 = 4003 + 6083 + 13923 = 4173 + 9273 + 12843 = 5043 + 10083 + 12243 = 5103 + 10963 + 11543 = 5583 + 5633 + 13813 = 6213 + 11073 + 11163 = 6803 + 7803 + 13003 = 6993 + 8373 + 12723 = 7203 + 9603 + 12003 = 9283 + 9443 + 11043

 

Per n > 2 ho trovato due metodi per generare infiniti insiemi di n interi positivi, tali che la somma dei loro cubi sia un cubo.

  • Scelti n – 3 interi positivi xi a piacere, si calcoli la somma s dei loro cubi e la si scomponga come s = 6abc, con a, b e c razionali. I tre numeri che completano l’insieme sono: x(n – 2) = (a + c) / 2 – bx(n – 1) = b – (a – c) / 2x(n – 1) = b – (a – c) / 2 e sono maggiori di zero se (a – c) / 2 < b < (a + c). I numeri sono interi se a, b e c sono interi (e quindi s è multiplo di 6) e a e c sono entrambi pari o entrambi dispari, altrimenti bisogna poi moltiplicare tutti i numeri per minimo comune multiplo dei denominatori. Per esempio, prendendo x1 = 3, x2 = 10 e x3 = 17, s = 5940: possiamo prendere a = 15, b = 6, c = 11 e ottenere x4 = 7, x5 = 8, x6 = 4. Infatti 33 + 103 + 173 + 73 + 83 + 43 = 6859 = 193.

  • Scelti n – 2 interi positivi xi a piacere, si calcoli la somma s dei loro cubi, dopodiché si prenda un numero razionale t tale che 3st3 > 0: x(n – 1) = (9 * s^2 + 30 * s * t + t^6) / (6 * t^2 * (3 * s – t^3))x(n) = (6 * s * t *(3 * s + t^3)) / (3 * s – t^3)^2 completano l’insieme. I due ultimi numeri di solito sono razionali non interi, quindi poi bisogna moltiplicare tutti i numeri per il minimo comune multiplo dei denominatori. Per esempio, per n = 4, iniziando con x1 = 1 e x2 = 2 si ottiene s = 9; prendiamo t = 1 e otteniamo x(3) = 250 / 39 e x(4) = 378 / 169; moltiplichiamo i 4 numeri per mcm(39, 169) = 507 e otteniamo: { 507, 1014, 3250, 1134 }. Infatti 5073 + 10143 + 32503 + 11343 = 36959313691 = 33313.

Il primo metodo produce in genere numeri minori, ma se i primi n – 2 numeri sono troppo piccoli, diventa difficile trovare i fattori a b e c, che soddisfino tutte le condizioni e siano diversi dai numeri di partenza.

 

Il minimo cubo esprimibile come somma di 3 cubi diversi tra loro è 63 = 33 + 43 + 53.

Il minimo cubo esprimibile come somma di 4 cubi diversi tra loro è 133 = 53 + 73 + 93 + 103.

Il minimo cubo esprimibile come somma di 5 cubi diversi tra loro è 93 = 13 + 33 + 43 + 53 + 83.

Il minimo cubo esprimibile come somma di 6 cubi diversi tra loro è 133 = 13 + 53 + 63 + 73 + 83 + 103.

 

Esistono infiniti cubi esprimibili come somma di cubi consecutivi. Una formula che genera infiniti casi è Formula per la rappresentazione di un cubo come somma di cubi consecutivi, per n non multiplo di 3.

Tuttavia i cubi che possono essere espressi come somma di un numero fissato di cubi consecutivi sono in numero finito.

Nessun cubo è esprimibile come somma di due cubi, consecutivi o meno (Eulero).

L’unico cubo esprimibile come somma di tre cubi consecutivi è 63 = 33 + 43 + 53.

Il minimo cubo esprimibile come somma di quattro cubi consecutivi è 203 = 113 + 123 + 133 + 143.

Il minimo cubo esprimibile come somma di 20 cubi consecutivi è 403, somma dei cubi da 33 a 223.

Il minimo cubo esprimibile come somma di cubi consecutivi in due modi differenti è 28563, somma dei cubi da 2733 a 5603 e dei cubi da 2133 a 5553.

 

Per altre informazioni su somme e differenze di cubi, v. numeri di Ramanujan (I), potenze.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Guy, Richard K.;  Unsolved Problems in Number Theory, New York, Springer-Verlag, II ediz., 1994.
  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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