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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Sequenze di interi consecutivi multipli di cubi
  3. 3. Rappresentazione di interi come somma di cubi
  4. 4. ProprietĂ  basate sulle cifre

I cubi sono le terze potenze degli interi.

 

Un cubo è naturalmente anche il numero di palline che possono formare un cubo, pertanto è un numero figurato, più precisamente platonico.

 

I cubi come numeri figurati

 

 

Ogni cubo può essere espresso come somma di 6 numeri tetraedrici: n3 = Tn + 4Tn – 1 + Tn – 2.

 

Alcune somme che coinvolgono cubi:

Formula per la somma dei primi n cubi;

Formula per la somma dei primi n cubi a segni alterni;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi a segni alterni.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei cubi e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei cubi.

 

La tabella seguente mostra i cubi degli interi sino a 20.

n

n3

0

0

1

1

2

8

3

27

4

64

5

125

6

216

7

343

8

512

9

729

10

1000

11

1331

12

1728

13

2197

14

2744

15

3375

16

4096

17

4913

18

5832

19

6859

20

8000

 

La somma di n numeri dispari consecutivi centrati su n2 è n3; per esempio: 13 + 15 + 17 + 19 = 43 (centro 16) e 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 53 (centro 25).

La somma dei cubi degli interi da 6 a 69 è il cubo di 180.

Le differenze tra cubi successivi sono numeri esagonali centrati.

 

Per cubi appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

Richard K. Guy trovò una sequenza con una proprietà inattesa: si inizia con a0 = 1 e si procede con Formula per la ricorrenza di Guy; in altre parole, ogni termine è uguale alla somma dei cubi dei precedenti, aumentata di 1 e divisa per l’indice. Così per esempio: Valore di a(1), Valore di a(2), Valore di a(3).

Non si vede alcuna ragione per la quale i termini debbano essere interi, ma sorprendentemente i primi lo sono, tanto che qualcuno potrebbe essere indotto a cercare una dimostrazione. In realtà vi sono termini non interi nella sequenza, ma piuttosto rari, almeno all’inizio; il primo termine non intero è a89.

 

La somma dei primi n cubi è un quadrato, quindi un numero composto, ma se si aggiunge 1 si ottengono numeri primi piuttosto spesso. I primi valori di n che producono primi sono: 8, 19, 156, 164, 179, 220, 280, 296, 311, 371, 415, 428, 431, 436, 544, 560, 651, 671, 720, 728, 751, 843, 860, 880, 948, 959, 964, 1000.

Il massimo primo noto di questa forma si ottiene per n = 102323.

 

Un’equazione cubica irriducibile in due variabili ha un numero finito di soluzioni intere (Thue, 1909); in particolare, l’equazione ax3by3 = c, con a, b e c fissati, ha al massimo un numero finito di soluzioni.

Le equazioni ax3 + by3 = 1 e ax3 + by3 = 3, con a e d non cubi, hanno al massimo una soluzione intera, con x e y non nulli, tranne 2x3 + y3 = 3, che ha due soluzioni: x = y = 1 e x = 4, y = –5 (Nagell, 1925).

L’equazione ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 = 1, con a, b, c e d non cubi e discriminante negativo (ossia tali che –27a2d2 + 18abcd + b2c2 – 4ac3 – 4bd3 < 0), ha al massimo tre soluzione intere, tranne le seguenti eccezioni.

  • x3xy2 + y3 = 1, che ne ha 5: x = 0, y = 1; x = 1, y = 0; x = 1, y = 1; x = –1, y = 1; x = 4, y = –3;

  • x3 + xy2 + y3 = 1, che ne ha 4: x = 0, y = 1; x = 1, y = 0; x = 1, y = –1; x = –2, y = 3;

  • x3 + x2y + y3 = 1, equivalente alla precedente, scambiando le incognite tra loro.

Se il discriminante è positivo, l’equazione ha al massimo dodici soluzione intere.

L’equazione ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 = k, con a, b, c e d non cubi e discriminante negativo, ha al massimo 5k soluzioni intere con x e y primi tra loro.

 

L’equazione x3 = y2 + 4 ha quattro sole soluzioni intere: x = 2, y = ± 2 e x = 5, y = ± 11 (Le Lionnais 1983).

 

Schinzel dimostrò nel 1968 che se la somma dei cubi di 4 polinomi non tutti costanti a coefficienti interi di grado non superiore a 4 è costante, la somma divisa per 9 non dà resto 4.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Guy, Richard K.;  Unsolved Problems in Number Theory, New York, Springer-Verlag, II ediz., 1994.
  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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