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Multiperfetti infinito-unitari (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “multiperfetti infinito-unitari” i numeri naturali uguali a un multiplo della somma dei propri divisori infinito-unitari, vale a dire i numeri n per i quali σ*(n) = kn. Se k = 2 abbiamo i numeri perfetti infinito-unitari.

 

Nel 1990 Graham L. Cohen trovò 13 3-perfetti infinito-unitari, 7 4-perfetti infinito-unitari e 2 5-perfetti infinito-unitari.

 

La tabella seguente mostra i numeri n-perfetti infinito-unitari noti.

n

Numeri

1

1

2

6 = 2 • 3,

60 = 22 • 3 • 5,

90 = 2 • 32 • 5,

87360 = 26 • 3 • 5 • 7 • 13,

146361946186458562560000 = 218 • 3 • 54 • 7 • 11 • 13 • 19 • 37 • 79 • 109 • 157 • 313

3

120 = 23 • 3 • 5,

73440 = 25 • 33 • 5 • 17,

44553600 = 27 • 32 • 52 • 7 • 13 • 17,

252927360 = 27 • 34 • 5 • 7 • 17 • 41,

8402296320 = 29 • 33 • 5 • 11 • 43 • 257,

575409744000 = 27 • 34 • 53 • 72 • 13 • 17 • 41,

5097393100800 = 211 • 32 • 52 • 7 • 11 • 13 • 43 • 257,

1180650347864064 = 213 • 35 • 7 • 11 • 17 • 41 • 43 • 257,

11806503478640640 = 214 • 35 • 5 • 7 • 11 • 17 • 41 • 43 • 257,

17709755217960960 = 213 • 36 • 5 • 7 • 11 • 17 • 41 • 43 • 257,

65832831896832000 = 211 • 34 • 53 • 72 • 11 • 13 • 41 • 43 • 257,

26859795413907456000 = 214 • 35 • 53 • 72 • 11 • 13 • 17 • 41 • 43 • 257,

40289693120861184000 = 213 • 36 • 53 • 72 • 11 • 13 • 17 • 41 • 43 • 257

4

133660800 = 27 • 33 • 52 • 7 • 13 • 17,

758782080 = 27 • 35 • 5 • 7 • 17 • 41,

1726229232000 = 27 • 35 • 53 • 72 • 13 • 17 • 41,

15292179302400 = 211 • 33 • 52 • 7 • 11 • 13 • 43 • 257,

53129265653882880 = 213 • 37 • 5 • 7 • 11 • 17 • 41 • 43 • 257,

197498495690496000 = 211 • 35 • 53 • 72 • 11 • 13 • 41 • 43 • 257,

120869079362583552000 = 213 • 37 • 53 • 72 • 11 • 13 • 17 • 41 • 43 • 257

5

212517062615531520 = 215 • 37 • 5 • 7 • 11 • 17 • 41 • 43 • 257,

483476317450334208000 = 215 • 37 • 53 • 72 • 11 • 13 • 17 • 41 • 43 • 257

 

Se n è p-perfetto infinito-unitario con p primo e p2 è la massima potenza di p che divide n, allora pn è (p + 1)-perfetto infinito-unitario (Graeme L. Cohen, 1990). Per esempio, 60 è 2-perfetto infinito-unitario e multiplo di 22, quindi 2 • 60 = 120 è 3-perfetto infinito-unitario; analogamente 44553600 è 3-perfetto infinito-unitario e multiplo di 32, quindi 3 • 44553600 = 133660800 è 4-perfetto infinito-unitario.

 

Se n è s-perfetto infinito-unitario ed esistono interi m e k tali che kσ*(m) = mσ*(k), k divide n e MCD(m, n / k) = 1, allora mn / k è s-perfetto infinito-unitario (Graeme L. Cohen, 1990).

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