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Multiperfetti esponenziali (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “multiperfetti esponenziali” i numeri naturali uguali a un multiplo della somma dei propri divisori esponenziali, vale a dire i numeri n per i quali σe(n) = kn. Se k = 2 abbiamo i numeri perfetti esponenziali.

 

Il termine si deve a E.G. Straus e M.V. Subbarao, che nel 1974 dimostrarono che sono tutti pari e che quelli potenti e che hanno un numero fissato di fattori primi sono in numero finito.

 

W. Aiello, G.E. Hardy e M.V. Subbarao dimostrarono nel 1985 che se esistono numeri k-perfetti esponenziali, sono multipli di 2h, dove h è il minimo intero tale che Formula per la definizione di h, dove w è l’esponente della massima potenza di 2 che divide k. I tre matematici stabilirono quindi alcune condizioni che i numeri k-perfetti esponenziali devono soddisfare, se esistono; in particolare:

  • i numeri 2-perfetti esponenziali sono multipli di 22;

  • i numeri 3-perfetti esponenziali sono maggiori di 21344400 e multipli di 23;

  • i numeri 4-perfetti esponenziali sono maggiori di 1085 e multipli di 241;

  • i numeri 5-perfetti esponenziali sono maggiori di 10320 e multipli di 2135;

  • i numeri 6-perfetti esponenziali sono maggiori di 101210 e multipli di 2462;

  • i numeri 7-perfetti esponenziali sono maggiori di 105270 e multipli di 21382;

  • i numeri 8-perfetti esponenziali sono maggiori di 1019884 e multipli di 24553;

  • i numeri k-perfetti esponenziali con k > 2 e pari ma non multiplo di 4 sono maggiori di 101210;

  • i numeri k-perfetti esponenziali con k > 5 e dispari sono maggiori di 105270;

  • i numeri k-perfetti esponenziali con k multiplo di 8 sono maggiori di 1019884.

 

Non si conosce alcun numero k-perfetto esponenziale per k > 2 ed è opinione di molti che non esistano.

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